Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15324 / 13339
↖ ↑ ↗
← N 31.700129°
W 11.645508°		 ← 1 039.33 m → N 31.700129°
W 11.634522°		 →
↑
1 039.36 m
↓
↑
1 039.36 m
↓
N 31.690782°
W 11.645508°		 ← 1 039.43 m →
1 080 296 m²		 N 31.690782°
W 11.634522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467666625976562 y=0.407089233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467666625976562 × 215)
    floor (0.467666625976562 × 32768)
    floor (15324.5)     		tx = 15324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407089233398438 × 215)
    floor (0.407089233398438 × 32768)
    floor (13339.5)     		ty = 13339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15324 / 13339 ti = "15/15324/13339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15324/13339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15324 ÷ 215
    15324 ÷ 32768     		x = 0.4676513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13339 ÷ 215
    13339 ÷ 32768     		y = 0.407073974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4676513671875 × 2 - 1) × π
    -0.064697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20325245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407073974609375 × 2 - 1) × π
    0.18585205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.583871437372284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20325245} λ = -0.20325245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583871437372284))-π/2
    2×atan(1.79296636856489)-π/2
    2×1.06203398040326-π/2
    2.12406796080651-1.57079632675     		φ = 0.55327163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20325245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55327163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.700129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15324 KachelY 13339 -0.20325245 0.55327163 -11.645508 31.700129
    Oben rechts KachelX + 1 15325 KachelY 13339 -0.20306071 0.55327163 -11.634522 31.700129
    Unten links KachelX 15324 KachelY + 1 13340 -0.20325245 0.55310849 -11.645508 31.690782
    Unten rechts KachelX + 1 15325 KachelY + 1 13340 -0.20306071 0.55310849 -11.634522 31.690782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55327163-0.55310849) × R
    0.000163140000000062 × 6371000     		dl = 1039.36494000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55327163-0.55310849) × R
    0.000163140000000062 × 6371000     		dr = 1039.36494000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20325245--0.20306071) × cos(0.55327163) × R
    0.000191739999999996 × 0.850809923370468 × 6371000     		do = 1039.32859157862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20325245--0.20306071) × cos(0.55310849) × R
    0.000191739999999996 × 0.850895637806526 × 6371000     		du = 1039.43329823713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55327163)-sin(0.55310849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850809923370468-0.850895637806526)×R²
    abs(-0.20306071--0.20325245)×8.57144360582041e-05×R²
    0.000191739999999996×8.57144360582041e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.57144360582041e-05×40589641000000     		ar = 1080296.11583752m²