Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15315 / 13329
↖ ↑ ↗
← N 31.793555°
W 11.744385°		 ← 1 038.28 m → N 31.793555°
W 11.733399°		 →
↑
1 038.41 m
↓
↑
1 038.41 m
↓
N 31.784217°
W 11.744385°		 ← 1 038.39 m →
1 078 215 m²		 N 31.784217°
W 11.733399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467391967773438 y=0.406784057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467391967773438 × 215)
    floor (0.467391967773438 × 32768)
    floor (15315.5)     		tx = 15315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406784057617188 × 215)
    floor (0.406784057617188 × 32768)
    floor (13329.5)     		ty = 13329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15315 / 13329 ti = "15/15315/13329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15315/13329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15315 ÷ 215
    15315 ÷ 32768     		x = 0.467376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13329 ÷ 215
    13329 ÷ 32768     		y = 0.406768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467376708984375 × 2 - 1) × π
    -0.06524658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20497818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406768798828125 × 2 - 1) × π
    0.18646240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.585788913357086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20497818} λ = -0.20497818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585788913357086))-π/2
    2×atan(1.79640763673833)-π/2
    2×1.06284927303107-π/2
    2.12569854606214-1.57079632675     		φ = 0.55490222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20497818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.744385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55490222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.793555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15315 KachelY 13329 -0.20497818 0.55490222 -11.744385 31.793555
    Oben rechts KachelX + 1 15316 KachelY 13329 -0.20478644 0.55490222 -11.733399 31.793555
    Unten links KachelX 15315 KachelY + 1 13330 -0.20497818 0.55473923 -11.744385 31.784217
    Unten rechts KachelX + 1 15316 KachelY + 1 13330 -0.20478644 0.55473923 -11.733399 31.784217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55490222-0.55473923) × R
    0.000162989999999974 × 6371000     		dl = 1038.40928999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55490222-0.55473923) × R
    0.000162989999999974 × 6371000     		dr = 1038.40928999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20497818--0.20478644) × cos(0.55490222) × R
    0.000191740000000024 × 0.849951960722725 × 6371000     		do = 1038.28052539405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20497818--0.20478644) × cos(0.55473923) × R
    0.000191740000000024 × 0.850037822375631 × 6371000     		du = 1038.38541188906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55490222)-sin(0.55473923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849951960722725-0.850037822375631)×R²
    abs(-0.20478644--0.20497818)×8.58616529068046e-05×R²
    0.000191740000000024×8.58616529068046e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.58616529068046e-05×40589641000000     		ar = 1078214.60313733m²