Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15290 / 13308
↖ ↑ ↗
← N 31.989442°
W 12.019043°		 ← 1 036.07 m → N 31.989442°
W 12.008057°		 →
↑
1 036.18 m
↓
↑
1 036.18 m
↓
N 31.980123°
W 12.019043°		 ← 1 036.18 m →
1 073 613 m²		 N 31.980123°
W 12.008057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466629028320312 y=0.406143188476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466629028320312 × 215)
    floor (0.466629028320312 × 32768)
    floor (15290.5)     		tx = 15290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406143188476562 × 215)
    floor (0.406143188476562 × 32768)
    floor (13308.5)     		ty = 13308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15290 / 13308 ti = "15/15290/13308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15290/13308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15290 ÷ 215
    15290 ÷ 32768     		x = 0.46661376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13308 ÷ 215
    13308 ÷ 32768     		y = 0.4061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46661376953125 × 2 - 1) × π
    -0.0667724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20977187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4061279296875 × 2 - 1) × π
    0.187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.589815612925171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20977187} λ = -0.20977187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.589815612925171))-π/2
    2×atan(1.80365581391557)-π/2
    2×1.06455870636379-π/2
    2.12911741272758-1.57079632675     		φ = 0.55832109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20977187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.019043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55832109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.989442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15290 KachelY 13308 -0.20977187 0.55832109 -12.019043 31.989442
    Oben rechts KachelX + 1 15291 KachelY 13308 -0.20958013 0.55832109 -12.008057 31.989442
    Unten links KachelX 15290 KachelY + 1 13309 -0.20977187 0.55815845 -12.019043 31.980123
    Unten rechts KachelX + 1 15291 KachelY + 1 13309 -0.20958013 0.55815845 -12.008057 31.980123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55832109-0.55815845) × R
    0.000162639999999992 × 6371000     		dl = 1036.17943999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55832109-0.55815845) × R
    0.000162639999999992 × 6371000     		dr = 1036.17943999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20977187--0.20958013) × cos(0.55832109) × R
    0.000191739999999996 × 0.848145730318861 × 6371000     		do = 1036.07407851293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20977187--0.20958013) × cos(0.55815845) × R
    0.000191739999999996 × 0.848231879752863 × 6371000     		du = 1036.1793165543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55832109)-sin(0.55815845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848145730318861-0.848231879752863)×R²
    abs(-0.20958013--0.20977187)×8.61494340022029e-05×R²
    0.000191739999999996×8.61494340022029e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.61494340022029e-05×40589641000000     		ar = 1073613.18358567m²