Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15289 / 13368
↖ ↑ ↗
← N 31.428663°
W 12.030029°		 ← 1 042.41 m → N 31.428663°
W 12.019043°		 →
↑
1 042.42 m
↓
↑
1 042.42 m
↓
N 31.419288°
W 12.030029°		 ← 1 042.52 m →
1 086 689 m²		 N 31.419288°
W 12.019043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466598510742188 y=0.407974243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466598510742188 × 215)
    floor (0.466598510742188 × 32768)
    floor (15289.5)     		tx = 15289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407974243164062 × 215)
    floor (0.407974243164062 × 32768)
    floor (13368.5)     		ty = 13368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15289 / 13368 ti = "15/15289/13368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15289/13368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15289 ÷ 215
    15289 ÷ 32768     		x = 0.466583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13368 ÷ 215
    13368 ÷ 32768     		y = 0.407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.06683349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20996362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407958984375 × 2 - 1) × π
    0.18408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.578310757016357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20996362} λ = -0.20996362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.578310757016357))-π/2
    2×atan(1.78302392469585)-π/2
    2×1.0596649888394-π/2
    2.11932997767881-1.57079632675     		φ = 0.54853365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20996362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.030029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54853365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.428663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15289 KachelY 13368 -0.20996362 0.54853365 -12.030029 31.428663
    Oben rechts KachelX + 1 15290 KachelY 13368 -0.20977187 0.54853365 -12.019043 31.428663
    Unten links KachelX 15289 KachelY + 1 13369 -0.20996362 0.54837003 -12.030029 31.419288
    Unten rechts KachelX + 1 15290 KachelY + 1 13369 -0.20977187 0.54837003 -12.019043 31.419288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54853365-0.54837003) × R
    0.000163620000000031 × 6371000     		dl = 1042.4230200002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54853365-0.54837003) × R
    0.000163620000000031 × 6371000     		dr = 1042.4230200002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20996362--0.20977187) × cos(0.54853365) × R
    0.000191749999999991 × 0.853290047661569 × 6371000     		do = 1042.41261385769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20996362--0.20977187) × cos(0.54837003) × R
    0.000191749999999991 × 0.853375353690533 × 6371000     		du = 1042.51682705094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54853365)-sin(0.54837003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853290047661569-0.853375353690533)×R²
    abs(-0.20977187--0.20996362)×8.53060289642826e-05×R²
    0.000191749999999991×8.53060289642826e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.53060289642826e-05×40589641000000     		ar = 1086689.22456456m²