Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15184 / 13456
↖ ↑ ↗
← N 30.600094°
W 13.183594°		 ← 1 051.52 m → N 30.600094°
W 13.172607°		 →
↑
1 051.53 m
↓
↑
1 051.53 m
↓
N 30.590637°
W 13.183594°		 ← 1 051.62 m →
1 105 757 m²		 N 30.590637°
W 13.172607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463394165039062 y=0.410659790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463394165039062 × 215)
    floor (0.463394165039062 × 32768)
    floor (15184.5)     		tx = 15184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410659790039062 × 215)
    floor (0.410659790039062 × 32768)
    floor (13456.5)     		ty = 13456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15184 / 13456 ti = "15/15184/13456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15184/13456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15184 ÷ 215
    15184 ÷ 32768     		x = 0.46337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13456 ÷ 215
    13456 ÷ 32768     		y = 0.41064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23009712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41064453125 × 2 - 1) × π
    0.1787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.561436968350098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23009712} λ = -0.23009712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.561436968350098))-π/2
    2×atan(1.75318996959908)-π/2
    2×1.05243435814694-π/2
    2.10486871629388-1.57079632675     		φ = 0.53407239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23009712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.183594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53407239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.600094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15184 KachelY 13456 -0.23009712 0.53407239 -13.183594 30.600094
    Oben rechts KachelX + 1 15185 KachelY 13456 -0.22990537 0.53407239 -13.172607 30.600094
    Unten links KachelX 15184 KachelY + 1 13457 -0.23009712 0.53390734 -13.183594 30.590637
    Unten rechts KachelX + 1 15185 KachelY + 1 13457 -0.22990537 0.53390734 -13.172607 30.590637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53407239-0.53390734) × R
    0.00016505 × 6371000     		dl = 1051.53355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53407239-0.53390734) × R
    0.00016505 × 6371000     		dr = 1051.53355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23009712--0.22990537) × cos(0.53407239) × R
    0.000191749999999991 × 0.860741192740037 × 6371000     		do = 1051.51522514299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23009712--0.22990537) × cos(0.53390734) × R
    0.000191749999999991 × 0.860825198534213 × 6371000     		du = 1051.61784991838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53407239)-sin(0.53390734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860741192740037-0.860825198534213)×R²
    abs(-0.22990537--0.23009712)×8.40057941760008e-05×R²
    0.000191749999999991×8.40057941760008e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.40057941760008e-05×40589641000000     		ar = 1105757.49678113m²