Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15141 / 22134
↖ ↑ ↗
← S 53.265213°
W 13.656006°		 ← 730.64 m → S 53.265213°
W 13.645020°		 →
↑
730.63 m
↓
↑
730.63 m
↓
S 53.271783°
W 13.656006°		 ← 730.53 m →
533 783 m²		 S 53.271783°
W 13.645020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462081909179688 y=0.675491333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462081909179688 × 215)
    floor (0.462081909179688 × 32768)
    floor (15141.5)     		tx = 15141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675491333007812 × 215)
    floor (0.675491333007812 × 32768)
    floor (22134.5)     		ty = 22134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15141 / 22134 ti = "15/15141/22134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15141/22134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15141 ÷ 215
    15141 ÷ 32768     		x = 0.462066650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22134 ÷ 215
    22134 ÷ 32768     		y = 0.67547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462066650390625 × 2 - 1) × π
    -0.07586669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23834226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.3509521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10254869126129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23834226} λ = -0.23834226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10254869126129))-π/2
    2×atan(0.332023778294523)-π/2
    2×0.320571492193816-π/2
    0.641142984387633-1.57079632675     		φ = -0.92965334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23834226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.656006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92965334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.265213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15141 KachelY 22134 -0.23834226 -0.92965334 -13.656006 -53.265213
    Oben rechts KachelX + 1 15142 KachelY 22134 -0.23815052 -0.92965334 -13.645020 -53.265213
    Unten links KachelX 15141 KachelY + 1 22135 -0.23834226 -0.92976802 -13.656006 -53.271783
    Unten rechts KachelX + 1 15142 KachelY + 1 22135 -0.23815052 -0.92976802 -13.645020 -53.271783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92965334--0.92976802) × R
    0.000114680000000034 × 6371000     		dl = 730.626280000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92965334--0.92976802) × R
    0.000114680000000034 × 6371000     		dr = 730.626280000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23834226--0.23815052) × cos(-0.92965334) × R
    0.000191739999999996 × 0.598111835928641 × 6371000     		do = 730.638788954906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23834226--0.23815052) × cos(-0.92976802) × R
    0.000191739999999996 × 0.598019925993382 × 6371000     		du = 730.52651402611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92965334)-sin(-0.92976802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598111835928641-0.598019925993382)×R²
    abs(-0.23815052--0.23834226)×9.19099352592045e-05×R²
    0.000191739999999996×9.19099352592045e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.19099352592045e-05×40589641000000     		ar = 533782.885476313m²