Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15053 / 22433
↖ ↑ ↗
← S 55.185141°
W 14.622803°		 ← 697.43 m → S 55.185141°
W 14.611817°		 →
↑
697.43 m
↓
↑
697.43 m
↓
S 55.191413°
W 14.622803°		 ← 697.32 m →
486 373 m²		 S 55.191413°
W 14.611817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459396362304688 y=0.684616088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459396362304688 × 215)
    floor (0.459396362304688 × 32768)
    floor (15053.5)     		tx = 15053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684616088867188 × 215)
    floor (0.684616088867188 × 32768)
    floor (22433.5)     		ty = 22433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15053 / 22433 ti = "15/15053/22433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15053/22433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15053 ÷ 215
    15053 ÷ 32768     		x = 0.459381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22433 ÷ 215
    22433 ÷ 32768     		y = 0.684600830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.08123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25521605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684600830078125 × 2 - 1) × π
    -0.36920166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15988122320688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25521605} λ = -0.25521605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15988122320688))-π/2
    2×atan(0.313523417977266)-π/2
    2×0.303816963081405-π/2
    0.607633926162811-1.57079632675     		φ = -0.96316240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25521605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.622803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96316240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.185141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15053 KachelY 22433 -0.25521605 -0.96316240 -14.622803 -55.185141
    Oben rechts KachelX + 1 15054 KachelY 22433 -0.25502431 -0.96316240 -14.611817 -55.185141
    Unten links KachelX 15053 KachelY + 1 22434 -0.25521605 -0.96327187 -14.622803 -55.191413
    Unten rechts KachelX + 1 15054 KachelY + 1 22434 -0.25502431 -0.96327187 -14.611817 -55.191413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96316240--0.96327187) × R
    0.000109470000000056 × 6371000     		dl = 697.433370000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96316240--0.96327187) × R
    0.000109470000000056 × 6371000     		dr = 697.433370000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25521605--0.25502431) × cos(-0.96316240) × R
    0.000191740000000051 × 0.570926511155455 × 6371000     		do = 697.429861165228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25521605--0.25502431) × cos(-0.96327187) × R
    0.000191740000000051 × 0.570836632736807 × 6371000     		du = 697.320067887433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96316240)-sin(-0.96327187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570926511155455-0.570836632736807)×R²
    abs(-0.25502431--0.25521605)×8.98784186488255e-05×R²
    0.000191740000000051×8.98784186488255e-05×6371000²
    0.000191740000000051×8.98784186488255e-05×40589641000000     		ar = 486372.5721498m²