Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14940 / 21709
↖ ↑ ↗
← S 50.380503°
W 15.864258°		 ← 779.02 m → S 50.380503°
W 15.853271°		 →
↑
778.92 m
↓
↑
778.92 m
↓
S 50.387508°
W 15.864258°		 ← 778.91 m →
606 750 m²		 S 50.387508°
W 15.853271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455947875976562 y=0.662521362304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455947875976562 × 215)
    floor (0.455947875976562 × 32768)
    floor (14940.5)     		tx = 14940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662521362304688 × 215)
    floor (0.662521362304688 × 32768)
    floor (21709.5)     		ty = 21709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14940 / 21709 ti = "15/14940/21709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14940/21709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14940 ÷ 215
    14940 ÷ 32768     		x = 0.4559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21709 ÷ 215
    21709 ÷ 32768     		y = 0.662506103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4559326171875 × 2 - 1) × π
    -0.088134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27688353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.32501220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0210559619072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27688353} λ = -0.27688353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0210559619072))-π/2
    2×atan(0.360214366623277)-π/2
    2×0.345745339767805-π/2
    0.691490679535611-1.57079632675     		φ = -0.87930565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27688353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.864258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87930565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.380503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14940 KachelY 21709 -0.27688353 -0.87930565 -15.864258 -50.380503
    Oben rechts KachelX + 1 14941 KachelY 21709 -0.27669178 -0.87930565 -15.853271 -50.380503
    Unten links KachelX 14940 KachelY + 1 21710 -0.27688353 -0.87942791 -15.864258 -50.387508
    Unten rechts KachelX + 1 14941 KachelY + 1 21710 -0.27669178 -0.87942791 -15.853271 -50.387508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87930565--0.87942791) × R
    0.00012225999999993 × 6371000     		dl = 778.918459999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87930565--0.87942791) × R
    0.00012225999999993 × 6371000     		dr = 778.918459999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27688353--0.27669178) × cos(-0.87930565) × R
    0.000191749999999991 × 0.63768615310388 × 6371000     		do = 779.022433813171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27688353--0.27669178) × cos(-0.87942791) × R
    0.000191749999999991 × 0.637591971914127 × 6371000     		du = 778.907378375157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87930565)-sin(-0.87942791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63768615310388-0.637591971914127)×R²
    abs(-0.27669178--0.27688353)×9.41811897529066e-05×R²
    0.000191749999999991×9.41811897529066e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.41811897529066e-05×40589641000000     		ar = 606750.145803893m²