Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14912 / 23232
↖ ↑ ↗
← S 59.888937°
W 16.171875°		 ← 612.84 m → S 59.888937°
W 16.160889°		 →
↑
612.83 m
↓
↑
612.83 m
↓
S 59.894448°
W 16.171875°		 ← 612.74 m →
375 532 m²		 S 59.894448°
W 16.160889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455093383789062 y=0.708999633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455093383789062 × 215)
    floor (0.455093383789062 × 32768)
    floor (14912.5)     		tx = 14912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.708999633789062 × 215)
    floor (0.708999633789062 × 32768)
    floor (23232.5)     		ty = 23232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14912 / 23232 ti = "15/14912/23232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14912/23232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14912 ÷ 215
    14912 ÷ 32768     		x = 0.455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23232 ÷ 215
    23232 ÷ 32768     		y = 0.708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.708984375 × 2 - 1) × π
    -0.41796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.31308755439258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28225246} λ = -0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.31308755439258))-π/2
    2×atan(0.268988257058018)-π/2
    2×0.262768596223023-π/2
    0.525537192446046-1.57079632675     		φ = -1.04525913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.04525913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.888937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14912 KachelY 23232 -0.28225246 -1.04525913 -16.171875 -59.888937
    Oben rechts KachelX + 1 14913 KachelY 23232 -0.28206072 -1.04525913 -16.160889 -59.888937
    Unten links KachelX 14912 KachelY + 1 23233 -0.28225246 -1.04535532 -16.171875 -59.894448
    Unten rechts KachelX + 1 14913 KachelY + 1 23233 -0.28206072 -1.04535532 -16.160889 -59.894448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.04525913--1.04535532) × R
    9.61900000000515e-05 × 6371000     		dl = 612.826490000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.04525913--1.04535532) × R
    9.61900000000515e-05 × 6371000     		dr = 612.826490000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28225246--0.28206072) × cos(-1.04525913) × R
    0.000191739999999996 × 0.501677781579305 × 6371000     		do = 612.837306938728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28225246--0.28206072) × cos(-1.04535532) × R
    0.000191739999999996 × 0.501594569659766 × 6371000     		du = 612.735657293183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.04525913)-sin(-1.04535532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501677781579305-0.501594569659766)×R²
    abs(-0.28206072--0.28225246)×8.32119195390835e-05×R²
    0.000191739999999996×8.32119195390835e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.32119195390835e-05×40589641000000     		ar = 375531.789244076m²