Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14911 / 22397
↖ ↑ ↗
← S 54.958694°
W 16.182861°		 ← 701.42 m → S 54.958694°
W 16.171875°		 →
↑
701.32 m
↓
↑
701.32 m
↓
S 54.965002°
W 16.182861°		 ← 701.31 m →
491 884 m²		 S 54.965002°
W 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455062866210938 y=0.683517456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455062866210938 × 215)
    floor (0.455062866210938 × 32768)
    floor (14911.5)     		tx = 14911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683517456054688 × 215)
    floor (0.683517456054688 × 32768)
    floor (22397.5)     		ty = 22397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14911 / 22397 ti = "15/14911/22397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14911/22397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14911 ÷ 215
    14911 ÷ 32768     		x = 0.455047607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22397 ÷ 215
    22397 ÷ 32768     		y = 0.683502197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455047607421875 × 2 - 1) × π
    -0.08990478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28244421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683502197265625 × 2 - 1) × π
    -0.36700439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15297830966159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28244421} λ = -0.28244421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15297830966159))-π/2
    2×atan(0.315695129972522)-π/2
    2×0.305793080466481-π/2
    0.611586160932962-1.57079632675     		φ = -0.95921017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28244421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.182861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95921017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.958694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14911 KachelY 22397 -0.28244421 -0.95921017 -16.182861 -54.958694
    Oben rechts KachelX + 1 14912 KachelY 22397 -0.28225246 -0.95921017 -16.171875 -54.958694
    Unten links KachelX 14911 KachelY + 1 22398 -0.28244421 -0.95932025 -16.182861 -54.965002
    Unten rechts KachelX + 1 14912 KachelY + 1 22398 -0.28225246 -0.95932025 -16.171875 -54.965002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95921017--0.95932025) × R
    0.000110080000000012 × 6371000     		dl = 701.319680000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95921017--0.95932025) × R
    0.000110080000000012 × 6371000     		dr = 701.319680000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28244421--0.28225246) × cos(-0.95921017) × R
    0.000191749999999991 × 0.574166829191689 × 6371000     		do = 701.424734588578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28244421--0.28225246) × cos(-0.95932025) × R
    0.000191749999999991 × 0.574076698997791 × 6371000     		du = 701.314628006103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95921017)-sin(-0.95932025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574166829191689-0.574076698997791)×R²
    abs(-0.28225246--0.28244421)×9.01301938974752e-05×R²
    0.000191749999999991×9.01301938974752e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.01301938974752e-05×40589641000000     		ar = 491884.360946547m²