Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14910 / 22338
↖ ↑ ↗
← S 54.584796°
W 16.193848°		 ← 707.94 m → S 54.584796°
W 16.182861°		 →
↑
707.88 m
↓
↑
707.88 m
↓
S 54.591163°
W 16.193848°		 ← 707.83 m →
501 096 m²		 S 54.591163°
W 16.182861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455032348632812 y=0.681716918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455032348632812 × 215)
    floor (0.455032348632812 × 32768)
    floor (14910.5)     		tx = 14910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681716918945312 × 215)
    floor (0.681716918945312 × 32768)
    floor (22338.5)     		ty = 22338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14910 / 22338 ti = "15/14910/22338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14910/22338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14910 ÷ 215
    14910 ÷ 32768     		x = 0.45501708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22338 ÷ 215
    22338 ÷ 32768     		y = 0.68170166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45501708984375 × 2 - 1) × π
    -0.0899658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28263596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68170166015625 × 2 - 1) × π
    -0.3634033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14166520135126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28263596} λ = -0.28263596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14166520135126))-π/2
    2×atan(0.319286901915366)-π/2
    2×0.309055951052367-π/2
    0.618111902104733-1.57079632675     		φ = -0.95268442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28263596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.193848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95268442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.584796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14910 KachelY 22338 -0.28263596 -0.95268442 -16.193848 -54.584796
    Oben rechts KachelX + 1 14911 KachelY 22338 -0.28244421 -0.95268442 -16.182861 -54.584796
    Unten links KachelX 14910 KachelY + 1 22339 -0.28263596 -0.95279553 -16.193848 -54.591163
    Unten rechts KachelX + 1 14911 KachelY + 1 22339 -0.28244421 -0.95279553 -16.182861 -54.591163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95268442--0.95279553) × R
    0.00011110999999997 × 6371000     		dl = 707.881809999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95268442--0.95279553) × R
    0.00011110999999997 × 6371000     		dr = 707.881809999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28263596--0.28244421) × cos(-0.95268442) × R
    0.000191750000000046 × 0.579497447401879 × 6371000     		do = 707.936827021116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28263596--0.28244421) × cos(-0.95279553) × R
    0.000191750000000046 × 0.579406892057868 × 6371000     		du = 707.826201058575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95268442)-sin(-0.95279553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579497447401879-0.579406892057868)×R²
    abs(-0.28244421--0.28263596)×9.05553440104789e-05×R²
    0.000191750000000046×9.05553440104789e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.05553440104789e-05×40589641000000     		ar = 501096.447939598m²