Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14902 / 22359
↖ ↑ ↗
← S 54.718275°
W 16.281738°		 ← 705.62 m → S 54.718275°
W 16.270752°		 →
↑
705.52 m
↓
↑
705.52 m
↓
S 54.724620°
W 16.281738°		 ← 705.51 m →
497 790 m²		 S 54.724620°
W 16.270752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454788208007812 y=0.682357788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454788208007812 × 215)
    floor (0.454788208007812 × 32768)
    floor (14902.5)     		tx = 14902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682357788085938 × 215)
    floor (0.682357788085938 × 32768)
    floor (22359.5)     		ty = 22359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14902 / 22359 ti = "15/14902/22359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14902/22359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14902 ÷ 215
    14902 ÷ 32768     		x = 0.45477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22359 ÷ 215
    22359 ÷ 32768     		y = 0.682342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.0904541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28416994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682342529296875 × 2 - 1) × π
    -0.36468505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14569190091934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28416994} λ = -0.28416994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14569190091934))-π/2
    2×atan(0.318003814522751)-π/2
    2×0.307891133366337-π/2
    0.615782266732675-1.57079632675     		φ = -0.95501406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28416994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.281738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95501406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.718275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14902 KachelY 22359 -0.28416994 -0.95501406 -16.281738 -54.718275
    Oben rechts KachelX + 1 14903 KachelY 22359 -0.28397819 -0.95501406 -16.270752 -54.718275
    Unten links KachelX 14902 KachelY + 1 22360 -0.28416994 -0.95512480 -16.281738 -54.724620
    Unten rechts KachelX + 1 14903 KachelY + 1 22360 -0.28397819 -0.95512480 -16.270752 -54.724620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95501406--0.95512480) × R
    0.000110739999999998 × 6371000     		dl = 705.524539999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95501406--0.95512480) × R
    0.000110739999999998 × 6371000     		dr = 705.524539999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28416994--0.28397819) × cos(-0.95501406) × R
    0.000191749999999991 × 0.577597280434319 × 6371000     		do = 705.615508471787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28416994--0.28397819) × cos(-0.95512480) × R
    0.000191749999999991 × 0.577506877409919 × 6371000     		du = 705.50506858886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95501406)-sin(-0.95512480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577597280434319-0.577506877409919)×R²
    abs(-0.28397819--0.28416994)×9.04030244007759e-05×R²
    0.000191749999999991×9.04030244007759e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.04030244007759e-05×40589641000000     		ar = 497790.098516455m²