Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14901 / 22425
↖ ↑ ↗
← S 55.134930°
W 16.292725°		 ← 698.34 m → S 55.134930°
W 16.281738°		 →
↑
698.26 m
↓
↑
698.26 m
↓
S 55.141210°
W 16.292725°		 ← 698.24 m →
487 589 m²		 S 55.141210°
W 16.281738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454757690429688 y=0.684371948242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454757690429688 × 215)
    floor (0.454757690429688 × 32768)
    floor (14901.5)     		tx = 14901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684371948242188 × 215)
    floor (0.684371948242188 × 32768)
    floor (22425.5)     		ty = 22425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14901 / 22425 ti = "15/14901/22425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14901/22425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14901 ÷ 215
    14901 ÷ 32768     		x = 0.454742431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22425 ÷ 215
    22425 ÷ 32768     		y = 0.684356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454742431640625 × 2 - 1) × π
    -0.09051513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28436169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.36871337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15834724241904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28436169} λ = -0.28436169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15834724241904))-π/2
    2×atan(0.314004725941186)-π/2
    2×0.304255134033005-π/2
    0.60851026806601-1.57079632675     		φ = -0.96228606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28436169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.292725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96228606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.134930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14901 KachelY 22425 -0.28436169 -0.96228606 -16.292725 -55.134930
    Oben rechts KachelX + 1 14902 KachelY 22425 -0.28416994 -0.96228606 -16.281738 -55.134930
    Unten links KachelX 14901 KachelY + 1 22426 -0.28436169 -0.96239566 -16.292725 -55.141210
    Unten rechts KachelX + 1 14902 KachelY + 1 22426 -0.28416994 -0.96239566 -16.281738 -55.141210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96228606--0.96239566) × R
    0.000109599999999932 × 6371000     		dl = 698.261599999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96228606--0.96239566) × R
    0.000109599999999932 × 6371000     		dr = 698.261599999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28436169--0.28416994) × cos(-0.96228606) × R
    0.000191749999999991 × 0.571645767999751 × 6371000     		do = 698.344907284855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28436169--0.28416994) × cos(-0.96239566) × R
    0.000191749999999991 × 0.571555837708747 × 6371000     		du = 698.235044911601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96228606)-sin(-0.96239566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571645767999751-0.571555837708747)×R²
    abs(-0.28416994--0.28436169)×8.99302910041255e-05×R²
    0.000191749999999991×8.99302910041255e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.99302910041255e-05×40589641000000     		ar = 487589.076462174m²