Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14837 / 22345
↖ ↑ ↗
← S 54.629338°
W 16.995849°		 ← 707.13 m → S 54.629338°
W 16.984863°		 →
↑
707.12 m
↓
↑
707.12 m
↓
S 54.635697°
W 16.995849°		 ← 707.02 m →
499 982 m²		 S 54.635697°
W 16.984863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452804565429688 y=0.681930541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452804565429688 × 215)
    floor (0.452804565429688 × 32768)
    floor (14837.5)     		tx = 14837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681930541992188 × 215)
    floor (0.681930541992188 × 32768)
    floor (22345.5)     		ty = 22345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14837 / 22345 ti = "15/14837/22345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14837/22345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14837 ÷ 215
    14837 ÷ 32768     		x = 0.452789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22345 ÷ 215
    22345 ÷ 32768     		y = 0.681915283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.09442138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29663353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681915283203125 × 2 - 1) × π
    -0.36383056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14300743454062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29663353} λ = -0.29663353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14300743454062))-π/2
    2×atan(0.318858631922084)-π/2
    2×0.308667253374671-π/2
    0.617334506749343-1.57079632675     		φ = -0.95346182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29663353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.995849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95346182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.629338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14837 KachelY 22345 -0.29663353 -0.95346182 -16.995849 -54.629338
    Oben rechts KachelX + 1 14838 KachelY 22345 -0.29644179 -0.95346182 -16.984863 -54.629338
    Unten links KachelX 14837 KachelY + 1 22346 -0.29663353 -0.95357281 -16.995849 -54.635697
    Unten rechts KachelX + 1 14838 KachelY + 1 22346 -0.29644179 -0.95357281 -16.984863 -54.635697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95346182--0.95357281) × R
    0.000110990000000033 × 6371000     		dl = 707.11729000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95346182--0.95357281) × R
    0.000110990000000033 × 6371000     		dr = 707.11729000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29663353--0.29644179) × cos(-0.95346182) × R
    0.000191739999999996 × 0.578863711526376 × 6371000     		do = 707.125750994221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29663353--0.29644179) × cos(-0.95357281) × R
    0.000191739999999996 × 0.578773204017074 × 6371000     		du = 707.015189234672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95346182)-sin(-0.95357281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578863711526376-0.578773204017074)×R²
    abs(-0.29644179--0.29663353)×9.05075093018404e-05×R²
    0.000191739999999996×9.05075093018404e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.05075093018404e-05×40589641000000     		ar = 499981.755179982m²