Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14788 / 22460
↖ ↑ ↗
← S 55.354136°
W 17.534180°		 ← 694.50 m → S 55.354136°
W 17.523193°		 →
↑
694.44 m
↓
↑
694.44 m
↓
S 55.360381°
W 17.534180°		 ← 694.40 m →
482 253 m²		 S 55.360381°
W 17.523193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451309204101562 y=0.685440063476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451309204101562 × 215)
    floor (0.451309204101562 × 32768)
    floor (14788.5)     		tx = 14788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685440063476562 × 215)
    floor (0.685440063476562 × 32768)
    floor (22460.5)     		ty = 22460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14788 / 22460 ti = "15/14788/22460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14788/22460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14788 ÷ 215
    14788 ÷ 32768     		x = 0.4512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22460 ÷ 215
    22460 ÷ 32768     		y = 0.6854248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30602917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6854248046875 × 2 - 1) × π
    -0.370849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16505840836584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30602917} λ = -0.30602917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16505840836584))-π/2
    2×atan(0.311904443671745)-π/2
    2×0.3023422055281-π/2
    0.6046844110562-1.57079632675     		φ = -0.96611192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30602917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.534180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96611192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.354136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14788 KachelY 22460 -0.30602917 -0.96611192 -17.534180 -55.354136
    Oben rechts KachelX + 1 14789 KachelY 22460 -0.30583742 -0.96611192 -17.523193 -55.354136
    Unten links KachelX 14788 KachelY + 1 22461 -0.30602917 -0.96622092 -17.534180 -55.360381
    Unten rechts KachelX + 1 14789 KachelY + 1 22461 -0.30583742 -0.96622092 -17.523193 -55.360381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96611192--0.96622092) × R
    0.000109000000000026 × 6371000     		dl = 694.439000000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96611192--0.96622092) × R
    0.000109000000000026 × 6371000     		dr = 694.439000000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30602917--0.30583742) × cos(-0.96611192) × R
    0.000191749999999991 × 0.568502471865926 × 6371000     		do = 694.504933353402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30602917--0.30583742) × cos(-0.96622092) × R
    0.000191749999999991 × 0.568412796199516 × 6371000     		du = 694.395382039545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96611192)-sin(-0.96622092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568502471865926-0.568412796199516)×R²
    abs(-0.30583742--0.30602917)×8.96756664100495e-05×R²
    0.000191749999999991×8.96756664100495e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.96756664100495e-05×40589641000000     		ar = 482253.273538738m²