Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14783 / 23233
↖ ↑ ↗
← S 59.894448°
W 17.589112°		 ← 612.77 m → S 59.894448°
W 17.578125°		 →
↑
612.70 m
↓
↑
612.70 m
↓
S 59.899958°
W 17.589112°		 ← 612.67 m →
375 411 m²		 S 59.899958°
W 17.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451156616210938 y=0.709030151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451156616210938 × 215)
    floor (0.451156616210938 × 32768)
    floor (14783.5)     		tx = 14783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.709030151367188 × 215)
    floor (0.709030151367188 × 32768)
    floor (23233.5)     		ty = 23233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14783 / 23233 ti = "15/14783/23233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14783/23233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14783 ÷ 215
    14783 ÷ 32768     		x = 0.451141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23233 ÷ 215
    23233 ÷ 32768     		y = 0.709014892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451141357421875 × 2 - 1) × π
    -0.09771728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30698791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.709014892578125 × 2 - 1) × π
    -0.41802978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.31327930199106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30698791} λ = -0.30698791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.31327930199106))-π/2
    2×atan(0.268936684150356)-π/2
    2×0.262720502457361-π/2
    0.525441004914723-1.57079632675     		φ = -1.04535532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30698791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.589112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.04535532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.894448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14783 KachelY 23233 -0.30698791 -1.04535532 -17.589112 -59.894448
    Oben rechts KachelX + 1 14784 KachelY 23233 -0.30679616 -1.04535532 -17.578125 -59.894448
    Unten links KachelX 14783 KachelY + 1 23234 -0.30698791 -1.04545149 -17.589112 -59.899958
    Unten rechts KachelX + 1 14784 KachelY + 1 23234 -0.30679616 -1.04545149 -17.578125 -59.899958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.04535532--1.04545149) × R
    9.6169999999951e-05 × 6371000     		dl = 612.699069999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.04535532--1.04545149) × R
    9.6169999999951e-05 × 6371000     		dr = 612.699069999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30698791--0.30679616) × cos(-1.04535532) × R
    0.000191749999999991 × 0.501594569659766 × 6371000     		do = 612.767613883199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30698791--0.30679616) × cos(-1.04545149) × R
    0.000191749999999991 × 0.501511370402236 × 6371000     		du = 612.66597440463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.04535532)-sin(-1.04545149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501594569659766-0.501511370402236)×R²
    abs(-0.30679616--0.30698791)×8.31992575297535e-05×R²
    0.000191749999999991×8.31992575297535e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.31992575297535e-05×40589641000000     		ar = 375411.010234337m²