Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14782 / 22357
↖ ↑ ↗
← S 54.705582°
W 17.600097°		 ← 705.80 m → S 54.705582°
W 17.589112°		 →
↑
705.78 m
↓
↑
705.78 m
↓
S 54.711929°
W 17.600097°		 ← 705.69 m →
498 100 m²		 S 54.711929°
W 17.589112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451126098632812 y=0.682296752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451126098632812 × 215)
    floor (0.451126098632812 × 32768)
    floor (14782.5)     		tx = 14782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682296752929688 × 215)
    floor (0.682296752929688 × 32768)
    floor (22357.5)     		ty = 22357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14782 / 22357 ti = "15/14782/22357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14782/22357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14782 ÷ 215
    14782 ÷ 32768     		x = 0.45111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22357 ÷ 215
    22357 ÷ 32768     		y = 0.682281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45111083984375 × 2 - 1) × π
    -0.0977783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30717965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682281494140625 × 2 - 1) × π
    -0.36456298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14530840572238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30717965} λ = -0.30717965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14530840572238))-π/2
    2×atan(0.318125790845407)-π/2
    2×0.308001903594544-π/2
    0.616003807189089-1.57079632675     		φ = -0.95479252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30717965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.600097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95479252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.705582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14782 KachelY 22357 -0.30717965 -0.95479252 -17.600097 -54.705582
    Oben rechts KachelX + 1 14783 KachelY 22357 -0.30698791 -0.95479252 -17.589112 -54.705582
    Unten links KachelX 14782 KachelY + 1 22358 -0.30717965 -0.95490330 -17.600097 -54.711929
    Unten rechts KachelX + 1 14783 KachelY + 1 22358 -0.30698791 -0.95490330 -17.589112 -54.711929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95479252--0.95490330) × R
    0.000110779999999977 × 6371000     		dl = 705.779379999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95479252--0.95490330) × R
    0.000110779999999977 × 6371000     		dr = 705.779379999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30717965--0.30698791) × cos(-0.95479252) × R
    0.000191740000000051 × 0.577778114203817 × 6371000     		do = 705.799611858899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30717965--0.30698791) × cos(-0.95490330) × R
    0.000191740000000051 × 0.577687692700602 × 6371000     		du = 705.68915516228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95479252)-sin(-0.95490330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577778114203817-0.577687692700602)×R²
    abs(-0.30698791--0.30717965)×9.04215032158096e-05×R²
    0.000191740000000051×9.04215032158096e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.04215032158096e-05×40589641000000     		ar = 498099.833942433m²