Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14775 / 22333
↖ ↑ ↗
← S 54.552951°
W 17.677002°		 ← 708.49 m → S 54.552951°
W 17.666016°		 →
↑
708.46 m
↓
↑
708.46 m
↓
S 54.559323°
W 17.677002°		 ← 708.38 m →
501 894 m²		 S 54.559323°
W 17.666016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450912475585938 y=0.681564331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450912475585938 × 215)
    floor (0.450912475585938 × 32768)
    floor (14775.5)     		tx = 14775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681564331054688 × 215)
    floor (0.681564331054688 × 32768)
    floor (22333.5)     		ty = 22333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14775 / 22333 ti = "15/14775/22333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14775/22333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14775 ÷ 215
    14775 ÷ 32768     		x = 0.450897216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22333 ÷ 215
    22333 ÷ 32768     		y = 0.681549072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450897216796875 × 2 - 1) × π
    -0.09820556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30852189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681549072265625 × 2 - 1) × π
    -0.36309814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14070646335886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30852189} λ = -0.30852189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14070646335886))-π/2
    2×atan(0.319593161186449)-π/2
    2×0.309333852700511-π/2
    0.618667705401022-1.57079632675     		φ = -0.95212862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30852189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.677002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95212862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.552951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14775 KachelY 22333 -0.30852189 -0.95212862 -17.677002 -54.552951
    Oben rechts KachelX + 1 14776 KachelY 22333 -0.30833014 -0.95212862 -17.666016 -54.552951
    Unten links KachelX 14775 KachelY + 1 22334 -0.30852189 -0.95223982 -17.677002 -54.559323
    Unten rechts KachelX + 1 14776 KachelY + 1 22334 -0.30833014 -0.95223982 -17.666016 -54.559323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95212862--0.95223982) × R
    0.000111199999999978 × 6371000     		dl = 708.45519999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95212862--0.95223982) × R
    0.000111199999999978 × 6371000     		dr = 708.45519999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30852189--0.30833014) × cos(-0.95212862) × R
    0.000191750000000046 × 0.579950320450359 × 6371000     		do = 708.490074512406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30852189--0.30833014) × cos(-0.95223982) × R
    0.000191750000000046 × 0.579859727579899 × 6371000     		du = 708.379402706082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95212862)-sin(-0.95223982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579950320450359-0.579859727579899)×R²
    abs(-0.30833014--0.30852189)×9.05928704598713e-05×R²
    0.000191750000000046×9.05928704598713e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.05928704598713e-05×40589641000000     		ar = 501894.27494473m²