Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14771 / 22459
↖ ↑ ↗
← S 55.347889°
W 17.720947°		 ← 694.61 m → S 55.347889°
W 17.709961°		 →
↑
694.57 m
↓
↑
694.57 m
↓
S 55.354136°
W 17.720947°		 ← 694.50 m →
482 418 m²		 S 55.354136°
W 17.709961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450790405273438 y=0.685409545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450790405273438 × 215)
    floor (0.450790405273438 × 32768)
    floor (14771.5)     		tx = 14771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685409545898438 × 215)
    floor (0.685409545898438 × 32768)
    floor (22459.5)     		ty = 22459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14771 / 22459 ti = "15/14771/22459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14771/22459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14771 ÷ 215
    14771 ÷ 32768     		x = 0.450775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22459 ÷ 215
    22459 ÷ 32768     		y = 0.685394287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450775146484375 × 2 - 1) × π
    -0.09844970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30928888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685394287109375 × 2 - 1) × π
    -0.37078857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16486666076736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30928888} λ = -0.30928888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16486666076736))-π/2
    2×atan(0.311964256334058)-π/2
    2×0.302396714319375-π/2
    0.604793428638751-1.57079632675     		φ = -0.96600290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30928888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.720947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96600290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.347889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14771 KachelY 22459 -0.30928888 -0.96600290 -17.720947 -55.347889
    Oben rechts KachelX + 1 14772 KachelY 22459 -0.30909713 -0.96600290 -17.709961 -55.347889
    Unten links KachelX 14771 KachelY + 1 22460 -0.30928888 -0.96611192 -17.720947 -55.354136
    Unten rechts KachelX + 1 14772 KachelY + 1 22460 -0.30909713 -0.96611192 -17.709961 -55.354136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96600290--0.96611192) × R
    0.000109020000000015 × 6371000     		dl = 694.566420000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96600290--0.96611192) × R
    0.000109020000000015 × 6371000     		dr = 694.566420000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30928888--0.30909713) × cos(-0.96600290) × R
    0.000191749999999991 × 0.56859215723035 × 6371000     		do = 694.614496514732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30928888--0.30909713) × cos(-0.96611192) × R
    0.000191749999999991 × 0.568502471865926 × 6371000     		du = 694.504933353402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96600290)-sin(-0.96611192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56859215723035-0.568502471865926)×R²
    abs(-0.30909713--0.30928888)×8.96853644236639e-05×R²
    0.000191749999999991×8.96853644236639e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.96853644236639e-05×40589641000000     		ar = 482417.855155644m²