Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14770 / 22458
↖ ↑ ↗
← S 55.341642°
W 17.731933°		 ← 694.69 m → S 55.341642°
W 17.720947°		 →
↑
694.69 m
↓
↑
694.69 m
↓
S 55.347889°
W 17.731933°		 ← 694.58 m →
482 557 m²		 S 55.347889°
W 17.720947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450759887695312 y=0.685379028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450759887695312 × 215)
    floor (0.450759887695312 × 32768)
    floor (14770.5)     		tx = 14770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685379028320312 × 215)
    floor (0.685379028320312 × 32768)
    floor (22458.5)     		ty = 22458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14770 / 22458 ti = "15/14770/22458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14770/22458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14770 ÷ 215
    14770 ÷ 32768     		x = 0.45074462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22458 ÷ 215
    22458 ÷ 32768     		y = 0.68536376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45074462890625 × 2 - 1) × π
    -0.0985107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30948062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68536376953125 × 2 - 1) × π
    -0.3707275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16467491316888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30948062} λ = -0.30948062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16467491316888))-π/2
    2×atan(0.312024080466406)-π/2
    2×0.302451231709291-π/2
    0.604902463418581-1.57079632675     		φ = -0.96589386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30948062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.731933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96589386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.341642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14770 KachelY 22458 -0.30948062 -0.96589386 -17.731933 -55.341642
    Oben rechts KachelX + 1 14771 KachelY 22458 -0.30928888 -0.96589386 -17.720947 -55.341642
    Unten links KachelX 14770 KachelY + 1 22459 -0.30948062 -0.96600290 -17.731933 -55.347889
    Unten rechts KachelX + 1 14771 KachelY + 1 22459 -0.30928888 -0.96600290 -17.720947 -55.347889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96589386--0.96600290) × R
    0.000109040000000005 × 6371000     		dl = 694.69384000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96589386--0.96600290) × R
    0.000109040000000005 × 6371000     		dr = 694.69384000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30948062--0.30928888) × cos(-0.96589386) × R
    0.000191739999999996 × 0.568681852288002 × 6371000     		do = 694.687840796901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30948062--0.30928888) × cos(-0.96600290) × R
    0.000191739999999996 × 0.56859215723035 × 6371000     		du = 694.578271508414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96589386)-sin(-0.96600290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568681852288002-0.56859215723035)×R²
    abs(-0.30928888--0.30948062)×8.96950576523281e-05×R²
    0.000191739999999996×8.96950576523281e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.96950576523281e-05×40589641000000     		ar = 482557.305647371m²