Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14764 / 22356
↖ ↑ ↗
← S 54.699233°
W 17.797852°		 ← 705.95 m → S 54.699233°
W 17.786865°		 →
↑
705.91 m
↓
↑
705.91 m
↓
S 54.705582°
W 17.797852°		 ← 705.84 m →
498 294 m²		 S 54.705582°
W 17.786865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450576782226562 y=0.682266235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450576782226562 × 215)
    floor (0.450576782226562 × 32768)
    floor (14764.5)     		tx = 14764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682266235351562 × 215)
    floor (0.682266235351562 × 32768)
    floor (22356.5)     		ty = 22356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14764 / 22356 ti = "15/14764/22356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14764/22356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14764 ÷ 215
    14764 ÷ 32768     		x = 0.4505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22356 ÷ 215
    22356 ÷ 32768     		y = 0.6822509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.098876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31063111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6822509765625 × 2 - 1) × π
    -0.364501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1451166581239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31063111} λ = -0.31063111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1451166581239))-π/2
    2×atan(0.318186796550478)-π/2
    2×0.308057301712267-π/2
    0.616114603424535-1.57079632675     		φ = -0.95468172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31063111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.797852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95468172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.699233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14764 KachelY 22356 -0.31063111 -0.95468172 -17.797852 -54.699233
    Oben rechts KachelX + 1 14765 KachelY 22356 -0.31043936 -0.95468172 -17.786865 -54.699233
    Unten links KachelX 14764 KachelY + 1 22357 -0.31063111 -0.95479252 -17.797852 -54.705582
    Unten rechts KachelX + 1 14765 KachelY + 1 22357 -0.31043936 -0.95479252 -17.786865 -54.705582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95468172--0.95479252) × R
    0.000110800000000078 × 6371000     		dl = 705.906800000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95468172--0.95479252) × R
    0.000110800000000078 × 6371000     		dr = 705.906800000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31063111--0.31043936) × cos(-0.95468172) × R
    0.000191749999999991 × 0.577868544939017 × 6371000     		do = 705.946895837857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31063111--0.31043936) × cos(-0.95479252) × R
    0.000191749999999991 × 0.577778114203817 × 6371000     		du = 705.836422102331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95468172)-sin(-0.95479252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577868544939017-0.577778114203817)×R²
    abs(-0.31043936--0.31063111)×9.04307351997646e-05×R²
    0.000191749999999991×9.04307351997646e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.04307351997646e-05×40589641000000     		ar = 498293.722640579m²