Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14762 / 22318
↖ ↑ ↗
← S 54.457267°
W 17.819824°		 ← 710.11 m → S 54.457267°
W 17.808838°		 →
↑
710.05 m
↓
↑
710.05 m
↓
S 54.463653°
W 17.819824°		 ← 710 m →
504 176 m²		 S 54.463653°
W 17.808838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450515747070312 y=0.681106567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450515747070312 × 215)
    floor (0.450515747070312 × 32768)
    floor (14762.5)     		tx = 14762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681106567382812 × 215)
    floor (0.681106567382812 × 32768)
    floor (22318.5)     		ty = 22318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14762 / 22318 ti = "15/14762/22318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14762/22318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14762 ÷ 215
    14762 ÷ 32768     		x = 0.45050048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22318 ÷ 215
    22318 ÷ 32768     		y = 0.68109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45050048828125 × 2 - 1) × π
    -0.0989990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31101460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.3621826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13783024938165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31101460} λ = -0.31101460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13783024938165))-π/2
    2×atan(0.320513702706258)-π/2
    2×0.310168860797451-π/2
    0.620337721594902-1.57079632675     		φ = -0.95045861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31101460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.819824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95045861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.457267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14762 KachelY 22318 -0.31101460 -0.95045861 -17.819824 -54.457267
    Oben rechts KachelX + 1 14763 KachelY 22318 -0.31082286 -0.95045861 -17.808838 -54.457267
    Unten links KachelX 14762 KachelY + 1 22319 -0.31101460 -0.95057006 -17.819824 -54.463653
    Unten rechts KachelX + 1 14763 KachelY + 1 22319 -0.31082286 -0.95057006 -17.808838 -54.463653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95045861--0.95057006) × R
    0.000111450000000013 × 6371000     		dl = 710.047950000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95045861--0.95057006) × R
    0.000111450000000013 × 6371000     		dr = 710.047950000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31101460--0.31082286) × cos(-0.95045861) × R
    0.000191739999999996 × 0.581309987821605 × 6371000     		do = 710.114062280555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31101460--0.31082286) × cos(-0.95057006) × R
    0.000191739999999996 × 0.581219299332028 × 6371000     		du = 710.003279439928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95045861)-sin(-0.95057006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581309987821605-0.581219299332028)×R²
    abs(-0.31082286--0.31101460)×9.0688489577273e-05×R²
    0.000191739999999996×9.0688489577273e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.0688489577273e-05×40589641000000     		ar = 504175.704145933m²