Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14754 / 22438
↖ ↑ ↗
← S 55.216490°
W 17.907715°		 ← 696.92 m → S 55.216490°
W 17.896729°		 →
↑
696.86 m
↓
↑
696.86 m
↓
S 55.222757°
W 17.907715°		 ← 696.81 m →
485 616 m²		 S 55.222757°
W 17.896729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450271606445312 y=0.684768676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450271606445312 × 215)
    floor (0.450271606445312 × 32768)
    floor (14754.5)     		tx = 14754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684768676757812 × 215)
    floor (0.684768676757812 × 32768)
    floor (22438.5)     		ty = 22438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14754 / 22438 ti = "15/14754/22438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14754/22438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14754 ÷ 215
    14754 ÷ 32768     		x = 0.45025634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22438 ÷ 215
    22438 ÷ 32768     		y = 0.68475341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.0994873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31254859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.3695068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16083996119928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31254859} λ = -0.31254859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16083996119928))-π/2
    2×atan(0.313222975210904)-π/2
    2×0.30354338631044-π/2
    0.607086772620881-1.57079632675     		φ = -0.96370955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31254859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.907715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96370955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.216490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14754 KachelY 22438 -0.31254859 -0.96370955 -17.907715 -55.216490
    Oben rechts KachelX + 1 14755 KachelY 22438 -0.31235684 -0.96370955 -17.896729 -55.216490
    Unten links KachelX 14754 KachelY + 1 22439 -0.31254859 -0.96381893 -17.907715 -55.222757
    Unten rechts KachelX + 1 14755 KachelY + 1 22439 -0.31235684 -0.96381893 -17.896729 -55.222757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96370955--0.96381893) × R
    0.000109379999999937 × 6371000     		dl = 696.859979999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96370955--0.96381893) × R
    0.000109379999999937 × 6371000     		dr = 696.859979999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31254859--0.31235684) × cos(-0.96370955) × R
    0.000191749999999991 × 0.57047721492844 × 6371000     		do = 696.917356987234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31254859--0.31235684) × cos(-0.96381893) × R
    0.000191749999999991 × 0.570387376253258 × 6371000     		du = 696.807606535464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96370955)-sin(-0.96381893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57047721492844-0.570387376253258)×R²
    abs(-0.31235684--0.31254859)×8.98386751813085e-05×R²
    0.000191749999999991×8.98386751813085e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.98386751813085e-05×40589641000000     		ar = 485615.575586615m²