Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14752 / 23392
↖ ↑ ↗
← S 60.759159°
W 17.929687°		 ← 596.75 m → S 60.759159°
W 17.918701°		 →
↑
596.71 m
↓
↑
596.71 m
↓
S 60.764526°
W 17.929687°		 ← 596.65 m →
356 055 m²		 S 60.764526°
W 17.918701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450210571289062 y=0.713882446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450210571289062 × 215)
    floor (0.450210571289062 × 32768)
    floor (14752.5)     		tx = 14752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.713882446289062 × 215)
    floor (0.713882446289062 × 32768)
    floor (23392.5)     		ty = 23392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14752 / 23392 ti = "15/14752/23392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14752/23392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14752 ÷ 215
    14752 ÷ 32768     		x = 0.4501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23392 ÷ 215
    23392 ÷ 32768     		y = 0.7138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4501953125 × 2 - 1) × π
    -0.099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31293208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7138671875 × 2 - 1) × π
    -0.427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.34376717014941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31293208} λ = -0.31293208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34376717014941))-π/2
    2×atan(0.260861107063647)-π/2
    2×0.255174471377325-π/2
    0.510348942754649-1.57079632675     		φ = -1.06044738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31293208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.929687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06044738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.759159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14752 KachelY 23392 -0.31293208 -1.06044738 -17.929687 -60.759159
    Oben rechts KachelX + 1 14753 KachelY 23392 -0.31274033 -1.06044738 -17.918701 -60.759159
    Unten links KachelX 14752 KachelY + 1 23393 -0.31293208 -1.06054104 -17.929687 -60.764526
    Unten rechts KachelX + 1 14753 KachelY + 1 23393 -0.31274033 -1.06054104 -17.918701 -60.764526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06044738--1.06054104) × R
    9.36599999998844e-05 × 6371000     		dl = 596.707859999263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06044738--1.06054104) × R
    9.36599999998844e-05 × 6371000     		dr = 596.707859999263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31293208--0.31274033) × cos(-1.06044738) × R
    0.000191749999999991 × 0.48848175855426 × 6371000     		do = 596.748489158877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31293208--0.31274033) × cos(-1.06054104) × R
    0.000191749999999991 × 0.488400031121024 × 6371000     		du = 596.648647718634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06044738)-sin(-1.06054104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48848175855426-0.488400031121024)×R²
    abs(-0.31274033--0.31293208)×8.1727433236034e-05×R²
    0.000191749999999991×8.1727433236034e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.1727433236034e-05×40589641000000     		ar = 356054.726098147m²