Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14742 / 21910
↖ ↑ ↗
← S 51.767840°
W 18.039551°		 ← 756.01 m → S 51.767840°
W 18.028565°		 →
↑
755.98 m
↓
↑
755.98 m
↓
S 51.774638°
W 18.039551°		 ← 755.90 m →
571 488 m²		 S 51.774638°
W 18.028565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449905395507812 y=0.668655395507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449905395507812 × 215)
    floor (0.449905395507812 × 32768)
    floor (14742.5)     		tx = 14742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668655395507812 × 215)
    floor (0.668655395507812 × 32768)
    floor (21910.5)     		ty = 21910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14742 / 21910 ti = "15/14742/21910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14742/21910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14742 ÷ 215
    14742 ÷ 32768     		x = 0.44989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21910 ÷ 215
    21910 ÷ 32768     		y = 0.66864013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44989013671875 × 2 - 1) × π
    -0.1002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31484956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66864013671875 × 2 - 1) × π
    -0.3372802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05959722920172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31484956} λ = -0.31484956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05959722920172))-π/2
    2×atan(0.346595380718904)-π/2
    2×0.333638537067309-π/2
    0.667277074134617-1.57079632675     		φ = -0.90351925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31484956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.039551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90351925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.767840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14742 KachelY 21910 -0.31484956 -0.90351925 -18.039551 -51.767840
    Oben rechts KachelX + 1 14743 KachelY 21910 -0.31465781 -0.90351925 -18.028565 -51.767840
    Unten links KachelX 14742 KachelY + 1 21911 -0.31484956 -0.90363791 -18.039551 -51.774638
    Unten rechts KachelX + 1 14743 KachelY + 1 21911 -0.31465781 -0.90363791 -18.028565 -51.774638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90351925--0.90363791) × R
    0.000118660000000048 × 6371000     		dl = 755.982860000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90351925--0.90363791) × R
    0.000118660000000048 × 6371000     		dr = 755.982860000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31484956--0.31465781) × cos(-0.90351925) × R
    0.000191749999999991 × 0.618849401381119 × 6371000     		do = 756.010718566142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31484956--0.31465781) × cos(-0.90363791) × R
    0.000191749999999991 × 0.618756188448891 × 6371000     		du = 755.896845989525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90351925)-sin(-0.90363791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618849401381119-0.618756188448891)×R²
    abs(-0.31465781--0.31484956)×9.32129322275266e-05×R²
    0.000191749999999991×9.32129322275266e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.32129322275266e-05×40589641000000     		ar = 571488.10302498m²