Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14741 / 21800
↖ ↑ ↗
← S 51.013755°
W 18.050537°		 ← 768.53 m → S 51.013755°
W 18.039551°		 →
↑
768.53 m
↓
↑
768.53 m
↓
S 51.020666°
W 18.050537°		 ← 768.42 m →
590 601 m²		 S 51.020666°
W 18.039551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449874877929688 y=0.665298461914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449874877929688 × 215)
    floor (0.449874877929688 × 32768)
    floor (14741.5)     		tx = 14741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665298461914062 × 215)
    floor (0.665298461914062 × 32768)
    floor (21800.5)     		ty = 21800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14741 / 21800 ti = "15/14741/21800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14741/21800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14741 ÷ 215
    14741 ÷ 32768     		x = 0.449859619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21800 ÷ 215
    21800 ÷ 32768     		y = 0.665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449859619140625 × 2 - 1) × π
    -0.10028076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31504130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.33056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0385049933689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31504130} λ = -0.31504130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0385049933689))-π/2
    2×atan(0.353983494242545)-π/2
    2×0.340219172120523-π/2
    0.680438344241046-1.57079632675     		φ = -0.89035798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31504130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.050537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89035798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.013755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14741 KachelY 21800 -0.31504130 -0.89035798 -18.050537 -51.013755
    Oben rechts KachelX + 1 14742 KachelY 21800 -0.31484956 -0.89035798 -18.039551 -51.013755
    Unten links KachelX 14741 KachelY + 1 21801 -0.31504130 -0.89047861 -18.050537 -51.020666
    Unten rechts KachelX + 1 14742 KachelY + 1 21801 -0.31484956 -0.89047861 -18.039551 -51.020666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89035798--0.89047861) × R
    0.000120629999999955 × 6371000     		dl = 768.533729999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89035798--0.89047861) × R
    0.000120629999999955 × 6371000     		dr = 768.533729999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31504130--0.31484956) × cos(-0.89035798) × R
    0.000191740000000051 × 0.629133810105984 × 6371000     		do = 768.534473812681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31504130--0.31484956) × cos(-0.89047861) × R
    0.000191740000000051 × 0.629040040189884 × 6371000     		du = 768.419926776784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89035798)-sin(-0.89047861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629133810105984-0.629040040189884)×R²
    abs(-0.31484956--0.31504130)×9.37699161004391e-05×R²
    0.000191740000000051×9.37699161004391e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.37699161004391e-05×40589641000000     		ar = 590600.649878169m²