Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14737 / 22286
↖ ↑ ↗
← S 54.252389°
W 18.094482°		 ← 713.66 m → S 54.252389°
W 18.083496°		 →
↑
713.62 m
↓
↑
713.62 m
↓
S 54.258807°
W 18.094482°		 ← 713.55 m →
509 242 m²		 S 54.258807°
W 18.083496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449752807617188 y=0.680130004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449752807617188 × 215)
    floor (0.449752807617188 × 32768)
    floor (14737.5)     		tx = 14737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680130004882812 × 215)
    floor (0.680130004882812 × 32768)
    floor (22286.5)     		ty = 22286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14737 / 22286 ti = "15/14737/22286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14737/22286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14737 ÷ 215
    14737 ÷ 32768     		x = 0.449737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22286 ÷ 215
    22286 ÷ 32768     		y = 0.68011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.10052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31580829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.3602294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13169432623029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31580829} λ = -0.31580829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13169432623029))-π/2
    2×atan(0.32248639611335)-π/2
    2×0.311956753203367-π/2
    0.623913506406733-1.57079632675     		φ = -0.94688282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31580829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.094482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94688282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.252389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14737 KachelY 22286 -0.31580829 -0.94688282 -18.094482 -54.252389
    Oben rechts KachelX + 1 14738 KachelY 22286 -0.31561655 -0.94688282 -18.083496 -54.252389
    Unten links KachelX 14737 KachelY + 1 22287 -0.31580829 -0.94699483 -18.094482 -54.258807
    Unten rechts KachelX + 1 14738 KachelY + 1 22287 -0.31561655 -0.94699483 -18.083496 -54.258807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94688282--0.94699483) × R
    0.00011200999999994 × 6371000     		dl = 713.615709999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94688282--0.94699483) × R
    0.00011200999999994 × 6371000     		dr = 713.615709999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31580829--0.31561655) × cos(-0.94688282) × R
    0.000191739999999996 × 0.584215821850764 × 6371000     		do = 713.663758053875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31580829--0.31561655) × cos(-0.94699483) × R
    0.000191739999999996 × 0.584124911055482 × 6371000     		du = 713.552703650037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94688282)-sin(-0.94699483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584215821850764-0.584124911055482)×R²
    abs(-0.31561655--0.31580829)×9.09107952818955e-05×R²
    0.000191739999999996×9.09107952818955e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.09107952818955e-05×40589641000000     		ar = 509242.044853492m²