Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14737 / 22255
↖ ↑ ↗
← S 54.052939°
W 18.094482°		 ← 717.11 m → S 54.052939°
W 18.083496°		 →
↑
717.06 m
↓
↑
717.06 m
↓
S 54.059388°
W 18.094482°		 ← 717 m →
514 169 m²		 S 54.059388°
W 18.083496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449752807617188 y=0.679183959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449752807617188 × 215)
    floor (0.449752807617188 × 32768)
    floor (14737.5)     		tx = 14737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679183959960938 × 215)
    floor (0.679183959960938 × 32768)
    floor (22255.5)     		ty = 22255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14737 / 22255 ti = "15/14737/22255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14737/22255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14737 ÷ 215
    14737 ÷ 32768     		x = 0.449737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22255 ÷ 215
    22255 ÷ 32768     		y = 0.679168701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.10052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31580829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.35833740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1257501506774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31580829} λ = -0.31580829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1257501506774))-π/2
    2×atan(0.324409020412404)-π/2
    2×0.313697285437159-π/2
    0.627394570874317-1.57079632675     		φ = -0.94340176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31580829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.094482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94340176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.052939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14737 KachelY 22255 -0.31580829 -0.94340176 -18.094482 -54.052939
    Oben rechts KachelX + 1 14738 KachelY 22255 -0.31561655 -0.94340176 -18.083496 -54.052939
    Unten links KachelX 14737 KachelY + 1 22256 -0.31580829 -0.94351431 -18.094482 -54.059388
    Unten rechts KachelX + 1 14738 KachelY + 1 22256 -0.31561655 -0.94351431 -18.083496 -54.059388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94340176--0.94351431) × R
    0.000112549999999989 × 6371000     		dl = 717.05604999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94340176--0.94351431) × R
    0.000112549999999989 × 6371000     		dr = 717.05604999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31580829--0.31561655) × cos(-0.94340176) × R
    0.000191739999999996 × 0.587037498984025 × 6371000     		do = 717.110649821645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31580829--0.31561655) × cos(-0.94351431) × R
    0.000191739999999996 × 0.586946379317181 × 6371000     		du = 716.999340265415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94340176)-sin(-0.94351431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587037498984025-0.586946379317181)×R²
    abs(-0.31561655--0.31580829)×9.11196668440528e-05×R²
    0.000191739999999996×9.11196668440528e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.11196668440528e-05×40589641000000     		ar = 514168.622921154m²