Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14736 / 22285
↖ ↑ ↗
← S 54.245970°
W 18.105469°		 ← 713.81 m → S 54.245970°
W 18.094482°		 →
↑
713.74 m
↓
↑
713.74 m
↓
S 54.252389°
W 18.105469°		 ← 713.70 m →
509 439 m²		 S 54.252389°
W 18.094482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449722290039062 y=0.680099487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449722290039062 × 215)
    floor (0.449722290039062 × 32768)
    floor (14736.5)     		tx = 14736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680099487304688 × 215)
    floor (0.680099487304688 × 32768)
    floor (22285.5)     		ty = 22285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14736 / 22285 ti = "15/14736/22285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14736/22285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14736 ÷ 215
    14736 ÷ 32768     		x = 0.44970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22285 ÷ 215
    22285 ÷ 32768     		y = 0.680084228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31600004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680084228515625 × 2 - 1) × π
    -0.36016845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13150257863181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31600004} λ = -0.31600004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13150257863181))-π/2
    2×atan(0.322548238034177)-π/2
    2×0.312012768552134-π/2
    0.624025537104269-1.57079632675     		φ = -0.94677079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31600004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94677079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.245970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14736 KachelY 22285 -0.31600004 -0.94677079 -18.105469 -54.245970
    Oben rechts KachelX + 1 14737 KachelY 22285 -0.31580829 -0.94677079 -18.094482 -54.245970
    Unten links KachelX 14736 KachelY + 1 22286 -0.31600004 -0.94688282 -18.105469 -54.252389
    Unten rechts KachelX + 1 14737 KachelY + 1 22286 -0.31580829 -0.94688282 -18.094482 -54.252389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94677079--0.94688282) × R
    0.000112030000000041 × 6371000     		dl = 713.743130000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94677079--0.94688282) × R
    0.000112030000000041 × 6371000     		dr = 713.743130000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31600004--0.31580829) × cos(-0.94677079) × R
    0.000191749999999991 × 0.584306741546992 × 6371000     		do = 713.812049513376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31600004--0.31580829) × cos(-0.94688282) × R
    0.000191749999999991 × 0.584215821850764 × 6371000     		du = 713.700978443866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94677079)-sin(-0.94688282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584306741546992-0.584215821850764)×R²
    abs(-0.31580829--0.31600004)×9.09196962278758e-05×R²
    0.000191749999999991×9.09196962278758e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.09196962278758e-05×40589641000000     		ar = 509438.808878348m²