Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14736 / 21906
↖ ↑ ↗
← S 51.740636°
W 18.105469°		 ← 756.47 m → S 51.740636°
W 18.094482°		 →
↑
756.37 m
↓
↑
756.37 m
↓
S 51.747438°
W 18.105469°		 ← 756.35 m →
572 122 m²		 S 51.747438°
W 18.094482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449722290039062 y=0.668533325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449722290039062 × 215)
    floor (0.449722290039062 × 32768)
    floor (14736.5)     		tx = 14736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668533325195312 × 215)
    floor (0.668533325195312 × 32768)
    floor (21906.5)     		ty = 21906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14736 / 21906 ti = "15/14736/21906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14736/21906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14736 ÷ 215
    14736 ÷ 32768     		x = 0.44970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21906 ÷ 215
    21906 ÷ 32768     		y = 0.66851806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31600004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.3370361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0588302388078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31600004} λ = -0.31600004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0588302388078))-π/2
    2×atan(0.346861318019133)-π/2
    2×0.333875934336841-π/2
    0.667751868673683-1.57079632675     		φ = -0.90304446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31600004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90304446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.740636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14736 KachelY 21906 -0.31600004 -0.90304446 -18.105469 -51.740636
    Oben rechts KachelX + 1 14737 KachelY 21906 -0.31580829 -0.90304446 -18.094482 -51.740636
    Unten links KachelX 14736 KachelY + 1 21907 -0.31600004 -0.90316318 -18.105469 -51.747438
    Unten rechts KachelX + 1 14737 KachelY + 1 21907 -0.31580829 -0.90316318 -18.094482 -51.747438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90304446--0.90316318) × R
    0.000118719999999906 × 6371000     		dl = 756.365119999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90304446--0.90316318) × R
    0.000118719999999906 × 6371000     		dr = 756.365119999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31600004--0.31580829) × cos(-0.90304446) × R
    0.000191749999999991 × 0.619222283744068 × 6371000     		do = 756.466246296353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31600004--0.31580829) × cos(-0.90316318) × R
    0.000191749999999991 × 0.619129058567464 × 6371000     		du = 756.352358761525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90304446)-sin(-0.90316318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619222283744068-0.619129058567464)×R²
    abs(-0.31580829--0.31600004)×9.32251766047054e-05×R²
    0.000191749999999991×9.32251766047054e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.32251766047054e-05×40589641000000     		ar = 572121.61354738m²