Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14735 / 22287
↖ ↑ ↗
← S 54.258807°
W 18.116455°		 ← 713.59 m → S 54.258807°
W 18.105469°		 →
↑
713.55 m
↓
↑
713.55 m
↓
S 54.265224°
W 18.116455°		 ← 713.48 m →
509 144 m²		 S 54.265224°
W 18.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449691772460938 y=0.680160522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449691772460938 × 215)
    floor (0.449691772460938 × 32768)
    floor (14735.5)     		tx = 14735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680160522460938 × 215)
    floor (0.680160522460938 × 32768)
    floor (22287.5)     		ty = 22287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14735 / 22287 ti = "15/14735/22287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14735/22287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14735 ÷ 215
    14735 ÷ 32768     		x = 0.449676513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22287 ÷ 215
    22287 ÷ 32768     		y = 0.680145263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449676513671875 × 2 - 1) × π
    -0.10064697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31619179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680145263671875 × 2 - 1) × π
    -0.36029052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13188607382877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31619179} λ = -0.31619179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13188607382877))-π/2
    2×atan(0.322424566049425)-π/2
    2×0.311900746571143-π/2
    0.623801493142286-1.57079632675     		φ = -0.94699483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31619179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.116455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94699483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.258807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14735 KachelY 22287 -0.31619179 -0.94699483 -18.116455 -54.258807
    Oben rechts KachelX + 1 14736 KachelY 22287 -0.31600004 -0.94699483 -18.105469 -54.258807
    Unten links KachelX 14735 KachelY + 1 22288 -0.31619179 -0.94710683 -18.116455 -54.265224
    Unten rechts KachelX + 1 14736 KachelY + 1 22288 -0.31600004 -0.94710683 -18.105469 -54.265224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94699483--0.94710683) × R
    0.000112000000000001 × 6371000     		dl = 713.552000000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94699483--0.94710683) × R
    0.000112000000000001 × 6371000     		dr = 713.552000000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31619179--0.31600004) × cos(-0.94699483) × R
    0.000191749999999991 × 0.584124911055482 × 6371000     		do = 713.589918248101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31619179--0.31600004) × cos(-0.94710683) × R
    0.000191749999999991 × 0.584034001048921 × 6371000     		du = 713.478859015868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94699483)-sin(-0.94710683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584124911055482-0.584034001048921)×R²
    abs(-0.31600004--0.31619179)×9.09100065613622e-05×R²
    0.000191749999999991×9.09100065613622e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.09100065613622e-05×40589641000000     		ar = 509143.890609026m²