Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14735 / 21805
↖ ↑ ↗
← S 51.048301°
W 18.116455°		 ← 768 m → S 51.048301°
W 18.105469°		 →
↑
767.96 m
↓
↑
767.96 m
↓
S 51.055207°
W 18.116455°		 ← 767.89 m →
589 751 m²		 S 51.055207°
W 18.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449691772460938 y=0.665451049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449691772460938 × 215)
    floor (0.449691772460938 × 32768)
    floor (14735.5)     		tx = 14735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665451049804688 × 215)
    floor (0.665451049804688 × 32768)
    floor (21805.5)     		ty = 21805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14735 / 21805 ti = "15/14735/21805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14735/21805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14735 ÷ 215
    14735 ÷ 32768     		x = 0.449676513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21805 ÷ 215
    21805 ÷ 32768     		y = 0.665435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449676513671875 × 2 - 1) × π
    -0.10064697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31619179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.33087158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0394637313613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31619179} λ = -0.31619179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0394637313613))-π/2
    2×atan(0.353644279452969)-π/2
    2×0.339917697243861-π/2
    0.679835394487723-1.57079632675     		φ = -0.89096093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31619179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.116455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89096093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.048301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14735 KachelY 21805 -0.31619179 -0.89096093 -18.116455 -51.048301
    Oben rechts KachelX + 1 14736 KachelY 21805 -0.31600004 -0.89096093 -18.105469 -51.048301
    Unten links KachelX 14735 KachelY + 1 21806 -0.31619179 -0.89108147 -18.116455 -51.055207
    Unten rechts KachelX + 1 14736 KachelY + 1 21806 -0.31600004 -0.89108147 -18.105469 -51.055207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89096093--0.89108147) × R
    0.000120540000000058 × 6371000     		dl = 767.960340000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89096093--0.89108147) × R
    0.000120540000000058 × 6371000     		dr = 767.960340000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31619179--0.31600004) × cos(-0.89096093) × R
    0.000191749999999991 × 0.628665024539012 × 6371000     		do = 768.001869079033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31619179--0.31600004) × cos(-0.89108147) × R
    0.000191749999999991 × 0.628571278881721 × 6371000     		du = 767.887345704569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89096093)-sin(-0.89108147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628665024539012-0.628571278881721)×R²
    abs(-0.31600004--0.31619179)×9.37456572911444e-05×R²
    0.000191749999999991×9.37456572911444e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.37456572911444e-05×40589641000000     		ar = 589751.002507534m²