Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14734 / 22294
↖ ↑ ↗
← S 54.303705°
W 18.127442°		 ← 712.81 m → S 54.303705°
W 18.116455°		 →
↑
712.72 m
↓
↑
712.72 m
↓
S 54.310114°
W 18.127442°		 ← 712.70 m →
507 999 m²		 S 54.310114°
W 18.116455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449661254882812 y=0.680374145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449661254882812 × 215)
    floor (0.449661254882812 × 32768)
    floor (14734.5)     		tx = 14734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680374145507812 × 215)
    floor (0.680374145507812 × 32768)
    floor (22294.5)     		ty = 22294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14734 / 22294 ti = "15/14734/22294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14734/22294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14734 ÷ 215
    14734 ÷ 32768     		x = 0.44964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22294 ÷ 215
    22294 ÷ 32768     		y = 0.68035888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.1007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31638354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68035888671875 × 2 - 1) × π
    -0.3607177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13322830701813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31638354} λ = -0.31638354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13322830701813))-π/2
    2×atan(0.321992087404332)-π/2
    2×0.311508944153855-π/2
    0.623017888307711-1.57079632675     		φ = -0.94777844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31638354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.127442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94777844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.303705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14734 KachelY 22294 -0.31638354 -0.94777844 -18.127442 -54.303705
    Oben rechts KachelX + 1 14735 KachelY 22294 -0.31619179 -0.94777844 -18.116455 -54.303705
    Unten links KachelX 14734 KachelY + 1 22295 -0.31638354 -0.94789031 -18.127442 -54.310114
    Unten rechts KachelX + 1 14735 KachelY + 1 22295 -0.31619179 -0.94789031 -18.116455 -54.310114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94777844--0.94789031) × R
    0.000111870000000014 × 6371000     		dl = 712.723770000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94777844--0.94789031) × R
    0.000111870000000014 × 6371000     		dr = 712.723770000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31638354--0.31619179) × cos(-0.94777844) × R
    0.000191750000000046 × 0.583488703928234 × 6371000     		do = 712.812702650531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31638354--0.31619179) × cos(-0.94789031) × R
    0.000191750000000046 × 0.583397848272506 × 6371000     		du = 712.701709815409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94777844)-sin(-0.94789031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583488703928234-0.583397848272506)×R²
    abs(-0.31619179--0.31638354)×9.08556557278617e-05×R²
    0.000191750000000046×9.08556557278617e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.08556557278617e-05×40589641000000     		ar = 507999.003650572m²