Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14734 / 22283
↖ ↑ ↗
← S 54.233130°
W 18.127442°		 ← 714.03 m → S 54.233130°
W 18.116455°		 →
↑
713.93 m
↓
↑
713.93 m
↓
S 54.239550°
W 18.127442°		 ← 713.92 m →
509 734 m²		 S 54.239550°
W 18.116455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449661254882812 y=0.680038452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449661254882812 × 215)
    floor (0.449661254882812 × 32768)
    floor (14734.5)     		tx = 14734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680038452148438 × 215)
    floor (0.680038452148438 × 32768)
    floor (22283.5)     		ty = 22283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14734 / 22283 ti = "15/14734/22283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14734/22283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14734 ÷ 215
    14734 ÷ 32768     		x = 0.44964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22283 ÷ 215
    22283 ÷ 32768     		y = 0.680023193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.1007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31638354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680023193359375 × 2 - 1) × π
    -0.36004638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13111908343485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31638354} λ = -0.31638354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13111908343485))-π/2
    2×atan(0.322671957455637)-π/2
    2×0.312124825401916-π/2
    0.624249650803832-1.57079632675     		φ = -0.94654668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31638354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.127442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94654668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.233130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14734 KachelY 22283 -0.31638354 -0.94654668 -18.127442 -54.233130
    Oben rechts KachelX + 1 14735 KachelY 22283 -0.31619179 -0.94654668 -18.116455 -54.233130
    Unten links KachelX 14734 KachelY + 1 22284 -0.31638354 -0.94665874 -18.127442 -54.239550
    Unten rechts KachelX + 1 14735 KachelY + 1 22284 -0.31619179 -0.94665874 -18.116455 -54.239550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94654668--0.94665874) × R
    0.00011206000000008 × 6371000     		dl = 713.934260000512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94654668--0.94665874) × R
    0.00011206000000008 × 6371000     		dr = 713.934260000512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31638354--0.31619179) × cos(-0.94654668) × R
    0.000191750000000046 × 0.584488599507991 × 6371000     		do = 714.034214336664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31638354--0.31619179) × cos(-0.94665874) × R
    0.000191750000000046 × 0.584397670139097 × 6371000     		du = 713.923131450646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94654668)-sin(-0.94665874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584488599507991-0.584397670139097)×R²
    abs(-0.31619179--0.31638354)×9.09293688936552e-05×R²
    0.000191750000000046×9.09293688936552e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.09293688936552e-05×40589641000000     		ar = 509733.83602189m²