Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14732 / 22236
↖ ↑ ↗
← S 53.930220°
W 18.149414°		 ← 719.23 m → S 53.930220°
W 18.138428°		 →
↑
719.22 m
↓
↑
719.22 m
↓
S 53.936688°
W 18.149414°		 ← 719.12 m →
517 244 m²		 S 53.936688°
W 18.138428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449600219726562 y=0.678604125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449600219726562 × 215)
    floor (0.449600219726562 × 32768)
    floor (14732.5)     		tx = 14732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678604125976562 × 215)
    floor (0.678604125976562 × 32768)
    floor (22236.5)     		ty = 22236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14732 / 22236 ti = "15/14732/22236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14732/22236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14732 ÷ 215
    14732 ÷ 32768     		x = 0.4495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22236 ÷ 215
    22236 ÷ 32768     		y = 0.6785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.100830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31676703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.357177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12210694630627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31676703} λ = -0.31676703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12210694630627))-π/2
    2×atan(0.325593064320929)-π/2
    2×0.314768211931789-π/2
    0.629536423863578-1.57079632675     		φ = -0.94125990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31676703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.149414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94125990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.930220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14732 KachelY 22236 -0.31676703 -0.94125990 -18.149414 -53.930220
    Oben rechts KachelX + 1 14733 KachelY 22236 -0.31657529 -0.94125990 -18.138428 -53.930220
    Unten links KachelX 14732 KachelY + 1 22237 -0.31676703 -0.94137279 -18.149414 -53.936688
    Unten rechts KachelX + 1 14733 KachelY + 1 22237 -0.31657529 -0.94137279 -18.138428 -53.936688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94125990--0.94137279) × R
    0.000112889999999921 × 6371000     		dl = 719.222189999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94125990--0.94137279) × R
    0.000112889999999921 × 6371000     		dr = 719.222189999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31676703--0.31657529) × cos(-0.94125990) × R
    0.000191739999999996 × 0.588770114750208 × 6371000     		do = 719.227170861832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31676703--0.31657529) × cos(-0.94137279) × R
    0.000191739999999996 × 0.588678861951521 × 6371000     		du = 719.115698674999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94125990)-sin(-0.94137279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588770114750208-0.588678861951521)×R²
    abs(-0.31657529--0.31676703)×9.12527986874911e-05×R²
    0.000191739999999996×9.12527986874911e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.12527986874911e-05×40589641000000     		ar = 517244.054848641m²