Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14731 / 22301
↖ ↑ ↗
← S 54.348553°
W 18.160400°		 ← 712.04 m → S 54.348553°
W 18.149414°		 →
↑
711.96 m
↓
↑
711.96 m
↓
S 54.354956°
W 18.160400°		 ← 711.92 m →
506 901 m²		 S 54.354956°
W 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449569702148438 y=0.680587768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449569702148438 × 215)
    floor (0.449569702148438 × 32768)
    floor (14731.5)     		tx = 14731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680587768554688 × 215)
    floor (0.680587768554688 × 32768)
    floor (22301.5)     		ty = 22301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14731 / 22301 ti = "15/14731/22301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14731/22301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14731 ÷ 215
    14731 ÷ 32768     		x = 0.449554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22301 ÷ 215
    22301 ÷ 32768     		y = 0.680572509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.10089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31695878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680572509765625 × 2 - 1) × π
    -0.36114501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13457054020749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31695878} λ = -0.31695878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13457054020749))-π/2
    2×atan(0.321560188857031)-π/2
    2×0.311117568590428-π/2
    0.622235137180856-1.57079632675     		φ = -0.94856119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31695878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.160400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94856119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.348553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14731 KachelY 22301 -0.31695878 -0.94856119 -18.160400 -54.348553
    Oben rechts KachelX + 1 14732 KachelY 22301 -0.31676703 -0.94856119 -18.149414 -54.348553
    Unten links KachelX 14731 KachelY + 1 22302 -0.31695878 -0.94867294 -18.160400 -54.354956
    Unten rechts KachelX + 1 14732 KachelY + 1 22302 -0.31676703 -0.94867294 -18.149414 -54.354956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94856119--0.94867294) × R
    0.000111749999999966 × 6371000     		dl = 711.959249999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94856119--0.94867294) × R
    0.000111749999999966 × 6371000     		dr = 711.959249999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31695878--0.31676703) × cos(-0.94856119) × R
    0.000191749999999991 × 0.582852837329962 × 6371000     		do = 712.035903056111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31695878--0.31676703) × cos(-0.94867294) × R
    0.000191749999999991 × 0.582762028129284 × 6371000     		du = 711.924966972303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94856119)-sin(-0.94867294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582852837329962-0.582762028129284)×R²
    abs(-0.31676703--0.31695878)×9.08092006771666e-05×R²
    0.000191749999999991×9.08092006771666e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.08092006771666e-05×40589641000000     		ar = 506901.057054123m²