Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14731 / 22298
↖ ↑ ↗
← S 54.329338°
W 18.160400°		 ← 712.37 m → S 54.329338°
W 18.149414°		 →
↑
712.28 m
↓
↑
712.28 m
↓
S 54.335744°
W 18.160400°		 ← 712.26 m →
507 365 m²		 S 54.335744°
W 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449569702148438 y=0.680496215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449569702148438 × 215)
    floor (0.449569702148438 × 32768)
    floor (14731.5)     		tx = 14731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680496215820312 × 215)
    floor (0.680496215820312 × 32768)
    floor (22298.5)     		ty = 22298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14731 / 22298 ti = "15/14731/22298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14731/22298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14731 ÷ 215
    14731 ÷ 32768     		x = 0.449554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22298 ÷ 215
    22298 ÷ 32768     		y = 0.68048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.10089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31695878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68048095703125 × 2 - 1) × π
    -0.3609619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.13399529741205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31695878} λ = -0.31695878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13399529741205))-π/2
    2×atan(0.321745217251995)-π/2
    2×0.31128524872138-π/2
    0.62257049744276-1.57079632675     		φ = -0.94822583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31695878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.160400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94822583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.329338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14731 KachelY 22298 -0.31695878 -0.94822583 -18.160400 -54.329338
    Oben rechts KachelX + 1 14732 KachelY 22298 -0.31676703 -0.94822583 -18.149414 -54.329338
    Unten links KachelX 14731 KachelY + 1 22299 -0.31695878 -0.94833763 -18.160400 -54.335744
    Unten rechts KachelX + 1 14732 KachelY + 1 22299 -0.31676703 -0.94833763 -18.149414 -54.335744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94822583--0.94833763) × R
    0.000111799999999995 × 6371000     		dl = 712.27779999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94822583--0.94833763) × R
    0.000111799999999995 × 6371000     		dr = 712.27779999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31695878--0.31676703) × cos(-0.94822583) × R
    0.000191749999999991 × 0.583125310617289 × 6371000     		do = 712.368767118487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31695878--0.31676703) × cos(-0.94833763) × R
    0.000191749999999991 × 0.58303448264092 × 6371000     		du = 712.257808097556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94822583)-sin(-0.94833763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583125310617289-0.58303448264092)×R²
    abs(-0.31676703--0.31695878)×9.08279763697228e-05×R²
    0.000191749999999991×9.08279763697228e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.08279763697228e-05×40589641000000     		ar = 507364.941937377m²