Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14731 / 22237
↖ ↑ ↗
← S 53.936688°
W 18.160400°		 ← 719.15 m → S 53.936688°
W 18.149414°		 →
↑
719.09 m
↓
↑
719.09 m
↓
S 53.943155°
W 18.160400°		 ← 719.04 m →
517 099 m²		 S 53.943155°
W 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449569702148438 y=0.678634643554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449569702148438 × 215)
    floor (0.449569702148438 × 32768)
    floor (14731.5)     		tx = 14731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678634643554688 × 215)
    floor (0.678634643554688 × 32768)
    floor (22237.5)     		ty = 22237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14731 / 22237 ti = "15/14731/22237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14731/22237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14731 ÷ 215
    14731 ÷ 32768     		x = 0.449554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22237 ÷ 215
    22237 ÷ 32768     		y = 0.678619384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.10089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31695878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.35723876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12229869390475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31695878} λ = -0.31695878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12229869390475))-π/2
    2×atan(0.325530638617944)-π/2
    2×0.31471176867853-π/2
    0.62942353735706-1.57079632675     		φ = -0.94137279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31695878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.160400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94137279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.936688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14731 KachelY 22237 -0.31695878 -0.94137279 -18.160400 -53.936688
    Oben rechts KachelX + 1 14732 KachelY 22237 -0.31676703 -0.94137279 -18.149414 -53.936688
    Unten links KachelX 14731 KachelY + 1 22238 -0.31695878 -0.94148566 -18.160400 -53.943155
    Unten rechts KachelX + 1 14732 KachelY + 1 22238 -0.31676703 -0.94148566 -18.149414 -53.943155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94137279--0.94148566) × R
    0.000112870000000043 × 6371000     		dl = 719.094770000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94137279--0.94148566) × R
    0.000112870000000043 × 6371000     		dr = 719.094770000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31695878--0.31676703) × cos(-0.94137279) × R
    0.000191749999999991 × 0.588678861951521 × 6371000     		do = 719.153203405274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31695878--0.31676703) × cos(-0.94148566) × R
    0.000191749999999991 × 0.588587617819289 × 6371000     		du = 719.041735992008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94137279)-sin(-0.94148566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588678861951521-0.588587617819289)×R²
    abs(-0.31676703--0.31695878)×9.12441322316049e-05×R²
    0.000191749999999991×9.12441322316049e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.12441322316049e-05×40589641000000     		ar = 517099.230129432m²