Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14729 / 21909
↖ ↑ ↗
← S 51.761040°
W 18.182373°		 ← 756.12 m → S 51.761040°
W 18.171387°		 →
↑
756.05 m
↓
↑
756.05 m
↓
S 51.767840°
W 18.182373°		 ← 756.01 m →
571 622 m²		 S 51.767840°
W 18.171387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449508666992188 y=0.668624877929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449508666992188 × 215)
    floor (0.449508666992188 × 32768)
    floor (14729.5)     		tx = 14729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668624877929688 × 215)
    floor (0.668624877929688 × 32768)
    floor (21909.5)     		ty = 21909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14729 / 21909 ti = "15/14729/21909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14729/21909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14729 ÷ 215
    14729 ÷ 32768     		x = 0.449493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21909 ÷ 215
    21909 ÷ 32768     		y = 0.668609619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.10101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31734228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.33721923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05940548160324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31734228} λ = -0.31734228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05940548160324))-π/2
    2×atan(0.346661845922869)-π/2
    2×0.3336978729787-π/2
    0.6673957459574-1.57079632675     		φ = -0.90340058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31734228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.182373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90340058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.761040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14729 KachelY 21909 -0.31734228 -0.90340058 -18.182373 -51.761040
    Oben rechts KachelX + 1 14730 KachelY 21909 -0.31715053 -0.90340058 -18.171387 -51.761040
    Unten links KachelX 14729 KachelY + 1 21910 -0.31734228 -0.90351925 -18.182373 -51.767840
    Unten rechts KachelX + 1 14730 KachelY + 1 21910 -0.31715053 -0.90351925 -18.171387 -51.767840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90340058--0.90351925) × R
    0.000118669999999987 × 6371000     		dl = 756.04656999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90340058--0.90351925) × R
    0.000118669999999987 × 6371000     		dr = 756.04656999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31734228--0.31715053) × cos(-0.90340058) × R
    0.000191749999999991 × 0.618942613454188 × 6371000     		do = 756.124590093177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31734228--0.31715053) × cos(-0.90351925) × R
    0.000191749999999991 × 0.618849401381119 × 6371000     		du = 756.010718566142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90340058)-sin(-0.90351925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618942613454188-0.618849401381119)×R²
    abs(-0.31715053--0.31734228)×9.32120730688935e-05×R²
    0.000191749999999991×9.32120730688935e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.32120730688935e-05×40589641000000     		ar = 571622.357414918m²