Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14729 / 21737
↖ ↑ ↗
← S 50.576260°
W 18.182373°		 ← 775.80 m → S 50.576260°
W 18.171387°		 →
↑
775.80 m
↓
↑
775.80 m
↓
S 50.583237°
W 18.182373°		 ← 775.69 m →
601 821 m²		 S 50.583237°
W 18.171387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449508666992188 y=0.663375854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449508666992188 × 215)
    floor (0.449508666992188 × 32768)
    floor (14729.5)     		tx = 14729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663375854492188 × 215)
    floor (0.663375854492188 × 32768)
    floor (21737.5)     		ty = 21737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14729 / 21737 ti = "15/14729/21737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14729/21737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14729 ÷ 215
    14729 ÷ 32768     		x = 0.449493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21737 ÷ 215
    21737 ÷ 32768     		y = 0.663360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.10101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31734228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.32672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02642489466464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31734228} λ = -0.31734228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02642489466464))-π/2
    2×atan(0.358285582300446)-π/2
    2×0.344037030992541-π/2
    0.688074061985082-1.57079632675     		φ = -0.88272226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31734228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.182373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88272226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.576260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14729 KachelY 21737 -0.31734228 -0.88272226 -18.182373 -50.576260
    Oben rechts KachelX + 1 14730 KachelY 21737 -0.31715053 -0.88272226 -18.171387 -50.576260
    Unten links KachelX 14729 KachelY + 1 21738 -0.31734228 -0.88284403 -18.182373 -50.583237
    Unten rechts KachelX + 1 14730 KachelY + 1 21738 -0.31715053 -0.88284403 -18.171387 -50.583237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88272226--0.88284403) × R
    0.000121770000000021 × 6371000     		dl = 775.796670000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88272226--0.88284403) × R
    0.000121770000000021 × 6371000     		dr = 775.796670000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31734228--0.31715053) × cos(-0.88272226) × R
    0.000191749999999991 × 0.635050634303192 × 6371000     		do = 775.802780602138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31734228--0.31715053) × cos(-0.88284403) × R
    0.000191749999999991 × 0.634956565860937 × 6371000     		du = 775.687862900893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88272226)-sin(-0.88284403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635050634303192-0.634956565860937)×R²
    abs(-0.31715053--0.31734228)×9.40684422549021e-05×R²
    0.000191749999999991×9.40684422549021e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.40684422549021e-05×40589641000000     		ar = 601820.638127242m²