Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14725 / 23169
↖ ↑ ↗
← S 59.539888°
W 18.226319°		 ← 619.30 m → S 59.539888°
W 18.215332°		 →
↑
619.26 m
↓
↑
619.26 m
↓
S 59.545457°
W 18.226319°		 ← 619.19 m →
383 474 m²		 S 59.545457°
W 18.215332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449386596679688 y=0.707077026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449386596679688 × 215)
    floor (0.449386596679688 × 32768)
    floor (14725.5)     		tx = 14725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.707077026367188 × 215)
    floor (0.707077026367188 × 32768)
    floor (23169.5)     		ty = 23169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14725 / 23169 ti = "15/14725/23169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14725/23169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14725 ÷ 215
    14725 ÷ 32768     		x = 0.449371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23169 ÷ 215
    23169 ÷ 32768     		y = 0.707061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.10125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31810927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.707061767578125 × 2 - 1) × π
    -0.41412353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.30100745568832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31810927} λ = -0.31810927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.30100745568832))-π/2
    2×atan(0.272257367587821)-π/2
    2×0.265814623755958-π/2
    0.531629247511916-1.57079632675     		φ = -1.03916708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31810927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.226319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.03916708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -59.539888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14725 KachelY 23169 -0.31810927 -1.03916708 -18.226319 -59.539888
    Oben rechts KachelX + 1 14726 KachelY 23169 -0.31791752 -1.03916708 -18.215332 -59.539888
    Unten links KachelX 14725 KachelY + 1 23170 -0.31810927 -1.03926428 -18.226319 -59.545457
    Unten rechts KachelX + 1 14726 KachelY + 1 23170 -0.31791752 -1.03926428 -18.215332 -59.545457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.03916708--1.03926428) × R
    9.72000000001305e-05 × 6371000     		dl = 619.261200000832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.03916708--1.03926428) × R
    9.72000000001305e-05 × 6371000     		dr = 619.261200000832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31810927--0.31791752) × cos(-1.03916708) × R
    0.000191749999999991 × 0.506938395282087 × 6371000     		do = 619.295841008582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31810927--0.31791752) × cos(-1.03926428) × R
    0.000191749999999991 × 0.50685460820917 × 6371000     		du = 619.193483431664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.03916708)-sin(-1.03926428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506938395282087-0.50685460820917)×R²
    abs(-0.31791752--0.31810927)×8.37870729171186e-05×R²
    0.000191749999999991×8.37870729171186e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.37870729171186e-05×40589641000000     		ar = 383474.192922726m²