Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14725 / 22318
↖ ↑ ↗
← S 54.457267°
W 18.226319°		 ← 710.15 m → S 54.457267°
W 18.215332°		 →
↑
710.05 m
↓
↑
710.05 m
↓
S 54.463653°
W 18.226319°		 ← 710.04 m →
504 202 m²		 S 54.463653°
W 18.215332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449386596679688 y=0.681106567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449386596679688 × 215)
    floor (0.449386596679688 × 32768)
    floor (14725.5)     		tx = 14725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681106567382812 × 215)
    floor (0.681106567382812 × 32768)
    floor (22318.5)     		ty = 22318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14725 / 22318 ti = "15/14725/22318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14725/22318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14725 ÷ 215
    14725 ÷ 32768     		x = 0.449371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22318 ÷ 215
    22318 ÷ 32768     		y = 0.68109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.10125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31810927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.3621826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13783024938165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31810927} λ = -0.31810927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13783024938165))-π/2
    2×atan(0.320513702706258)-π/2
    2×0.310168860797451-π/2
    0.620337721594902-1.57079632675     		φ = -0.95045861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31810927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.226319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95045861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.457267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14725 KachelY 22318 -0.31810927 -0.95045861 -18.226319 -54.457267
    Oben rechts KachelX + 1 14726 KachelY 22318 -0.31791752 -0.95045861 -18.215332 -54.457267
    Unten links KachelX 14725 KachelY + 1 22319 -0.31810927 -0.95057006 -18.226319 -54.463653
    Unten rechts KachelX + 1 14726 KachelY + 1 22319 -0.31791752 -0.95057006 -18.215332 -54.463653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95045861--0.95057006) × R
    0.000111450000000013 × 6371000     		dl = 710.047950000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95045861--0.95057006) × R
    0.000111450000000013 × 6371000     		dr = 710.047950000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31810927--0.31791752) × cos(-0.95045861) × R
    0.000191749999999991 × 0.581309987821605 × 6371000     		do = 710.15109753986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31810927--0.31791752) × cos(-0.95057006) × R
    0.000191749999999991 × 0.581219299332028 × 6371000     		du = 710.040308921469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95045861)-sin(-0.95057006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581309987821605-0.581219299332028)×R²
    abs(-0.31791752--0.31810927)×9.0688489577273e-05×R²
    0.000191749999999991×9.0688489577273e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.0688489577273e-05×40589641000000     		ar = 504201.998904663m²