Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14719 / 22245
↖ ↑ ↗
← S 53.988395°
W 18.292236°		 ← 718.26 m → S 53.988395°
W 18.281250°		 →
↑
718.20 m
↓
↑
718.20 m
↓
S 53.994854°
W 18.292236°		 ← 718.15 m →
515 818 m²		 S 53.994854°
W 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449203491210938 y=0.678878784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449203491210938 × 215)
    floor (0.449203491210938 × 32768)
    floor (14719.5)     		tx = 14719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678878784179688 × 215)
    floor (0.678878784179688 × 32768)
    floor (22245.5)     		ty = 22245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14719 / 22245 ti = "15/14719/22245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14719/22245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14719 ÷ 215
    14719 ÷ 32768     		x = 0.449188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22245 ÷ 215
    22245 ÷ 32768     		y = 0.678863525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.10162353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31925975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678863525390625 × 2 - 1) × π
    -0.35772705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1238326746926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31925975} λ = -0.31925975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1238326746926))-π/2
    2×atan(0.32503166367928)-π/2
    2×0.314260537532783-π/2
    0.628521075065566-1.57079632675     		φ = -0.94227525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31925975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.292236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94227525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.988395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14719 KachelY 22245 -0.31925975 -0.94227525 -18.292236 -53.988395
    Oben rechts KachelX + 1 14720 KachelY 22245 -0.31906800 -0.94227525 -18.281250 -53.988395
    Unten links KachelX 14719 KachelY + 1 22246 -0.31925975 -0.94238798 -18.292236 -53.994854
    Unten rechts KachelX + 1 14720 KachelY + 1 22246 -0.31906800 -0.94238798 -18.281250 -53.994854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94227525--0.94238798) × R
    0.000112730000000005 × 6371000     		dl = 718.202830000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94227525--0.94238798) × R
    0.000112730000000005 × 6371000     		dr = 718.202830000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31925975--0.31906800) × cos(-0.94227525) × R
    0.000191749999999991 × 0.58794910345282 × 6371000     		do = 718.26170178024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31925975--0.31906800) × cos(-0.94238798) × R
    0.000191749999999991 × 0.587857912654176 × 6371000     		du = 718.150299521377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94227525)-sin(-0.94238798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58794910345282-0.587857912654176)×R²
    abs(-0.31906800--0.31925975)×9.11907986442806e-05×R²
    0.000191749999999991×9.11907986442806e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.11907986442806e-05×40589641000000     		ar = 515817.58273736m²