Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14718 / 21838
↖ ↑ ↗
← S 51.275663°
W 18.303223°		 ← 764.23 m → S 51.275663°
W 18.292236°		 →
↑
764.14 m
↓
↑
764.14 m
↓
S 51.282535°
W 18.303223°		 ← 764.11 m →
583 930 m²		 S 51.282535°
W 18.292236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449172973632812 y=0.666458129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449172973632812 × 215)
    floor (0.449172973632812 × 32768)
    floor (14718.5)     		tx = 14718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666458129882812 × 215)
    floor (0.666458129882812 × 32768)
    floor (21838.5)     		ty = 21838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14718 / 21838 ti = "15/14718/21838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14718/21838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14718 ÷ 215
    14718 ÷ 32768     		x = 0.44915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21838 ÷ 215
    21838 ÷ 32768     		y = 0.66644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1016845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31945150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66644287109375 × 2 - 1) × π
    -0.3328857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04579140211114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31945150} λ = -0.31945150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04579140211114))-π/2
    2×atan(0.351413599836026)-π/2
    2×0.33793359559818-π/2
    0.675867191196359-1.57079632675     		φ = -0.89492914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31945150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.303223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89492914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.275663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14718 KachelY 21838 -0.31945150 -0.89492914 -18.303223 -51.275663
    Oben rechts KachelX + 1 14719 KachelY 21838 -0.31925975 -0.89492914 -18.292236 -51.275663
    Unten links KachelX 14718 KachelY + 1 21839 -0.31945150 -0.89504908 -18.303223 -51.282535
    Unten rechts KachelX + 1 14719 KachelY + 1 21839 -0.31925975 -0.89504908 -18.292236 -51.282535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89492914--0.89504908) × R
    0.000119940000000041 × 6371000     		dl = 764.137740000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89492914--0.89504908) × R
    0.000119940000000041 × 6371000     		dr = 764.137740000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31945150--0.31925975) × cos(-0.89492914) × R
    0.000191749999999991 × 0.625574100436133 × 6371000     		do = 764.225874876184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31945150--0.31925975) × cos(-0.89504908) × R
    0.000191749999999991 × 0.625480522976018 × 6371000     		du = 764.111556977993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89492914)-sin(-0.89504908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625574100436133-0.625480522976018)×R²
    abs(-0.31925975--0.31945150)×9.35774601147354e-05×R²
    0.000191749999999991×9.35774601147354e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.35774601147354e-05×40589641000000     		ar = 583930.15626702m²