Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14716 / 22284
↖ ↑ ↗
← S 54.239550°
W 18.325195°		 ← 713.89 m → S 54.239550°
W 18.314209°		 →
↑
713.87 m
↓
↑
713.87 m
↓
S 54.245970°
W 18.325195°		 ← 713.77 m →
509 582 m²		 S 54.245970°
W 18.314209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449111938476562 y=0.680068969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449111938476562 × 215)
    floor (0.449111938476562 × 32768)
    floor (14716.5)     		tx = 14716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680068969726562 × 215)
    floor (0.680068969726562 × 32768)
    floor (22284.5)     		ty = 22284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14716 / 22284 ti = "15/14716/22284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14716/22284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14716 ÷ 215
    14716 ÷ 32768     		x = 0.4490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22284 ÷ 215
    22284 ÷ 32768     		y = 0.6800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.101806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31983499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13131083103333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31983499} λ = -0.31983499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13131083103333))-π/2
    2×atan(0.322610091814182)-π/2
    2×0.3120687926181-π/2
    0.6241375852362-1.57079632675     		φ = -0.94665874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31983499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.325195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94665874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.239550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14716 KachelY 22284 -0.31983499 -0.94665874 -18.325195 -54.239550
    Oben rechts KachelX + 1 14717 KachelY 22284 -0.31964325 -0.94665874 -18.314209 -54.239550
    Unten links KachelX 14716 KachelY + 1 22285 -0.31983499 -0.94677079 -18.325195 -54.245970
    Unten rechts KachelX + 1 14717 KachelY + 1 22285 -0.31964325 -0.94677079 -18.314209 -54.245970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94665874--0.94677079) × R
    0.000112049999999919 × 6371000     		dl = 713.870549999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94665874--0.94677079) × R
    0.000112049999999919 × 6371000     		dr = 713.870549999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31983499--0.31964325) × cos(-0.94665874) × R
    0.000191739999999996 × 0.584397670139097 × 6371000     		do = 713.885899474894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31983499--0.31964325) × cos(-0.94677079) × R
    0.000191739999999996 × 0.584306741546992 × 6371000     		du = 713.774823330891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94665874)-sin(-0.94677079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584397670139097-0.584306741546992)×R²
    abs(-0.31964325--0.31983499)×9.09285921053549e-05×R²
    0.000191739999999996×9.09285921053549e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.09285921053549e-05×40589641000000     		ar = 509582.473233696m²