Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14714 / 21801
↖ ↑ ↗
← S 51.020666°
W 18.347168°		 ← 768.46 m → S 51.020666°
W 18.336182°		 →
↑
768.41 m
↓
↑
768.41 m
↓
S 51.027577°
W 18.347168°		 ← 768.35 m →
590 446 m²		 S 51.027577°
W 18.336182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449050903320312 y=0.665328979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449050903320312 × 215)
    floor (0.449050903320312 × 32768)
    floor (14714.5)     		tx = 14714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665328979492188 × 215)
    floor (0.665328979492188 × 32768)
    floor (21801.5)     		ty = 21801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14714 / 21801 ti = "15/14714/21801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14714/21801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14714 ÷ 215
    14714 ÷ 32768     		x = 0.44903564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21801 ÷ 215
    21801 ÷ 32768     		y = 0.665313720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44903564453125 × 2 - 1) × π
    -0.1019287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32021849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665313720703125 × 2 - 1) × π
    -0.33062744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03869674096738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32021849} λ = -0.32021849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03869674096738))-π/2
    2×atan(0.353915625264687)-π/2
    2×0.340158859167033-π/2
    0.680317718334066-1.57079632675     		φ = -0.89047861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32021849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.347168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89047861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.020666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14714 KachelY 21801 -0.32021849 -0.89047861 -18.347168 -51.020666
    Oben rechts KachelX + 1 14715 KachelY 21801 -0.32002674 -0.89047861 -18.336182 -51.020666
    Unten links KachelX 14714 KachelY + 1 21802 -0.32021849 -0.89059922 -18.347168 -51.027577
    Unten rechts KachelX + 1 14715 KachelY + 1 21802 -0.32002674 -0.89059922 -18.336182 -51.027577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89047861--0.89059922) × R
    0.000120610000000076 × 6371000     		dl = 768.406310000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89047861--0.89059922) × R
    0.000120610000000076 × 6371000     		dr = 768.406310000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32021849--0.32002674) × cos(-0.89047861) × R
    0.000191750000000046 × 0.629040040189884 × 6371000     		do = 768.460002917724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32021849--0.32002674) × cos(-0.89059922) × R
    0.000191750000000046 × 0.628946276669221 × 6371000     		du = 768.345457720665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89047861)-sin(-0.89059922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629040040189884-0.628946276669221)×R²
    abs(-0.32002674--0.32021849)×9.3763520662149e-05×R²
    0.000191750000000046×9.3763520662149e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.3763520662149e-05×40589641000000     		ar = 590445.507314791m²