Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14710 / 22440
↖ ↑ ↗
← S 55.229023°
W 18.391113°		 ← 696.70 m → S 55.229023°
W 18.380127°		 →
↑
696.67 m
↓
↑
696.67 m
↓
S 55.235288°
W 18.391113°		 ← 696.59 m →
485 329 m²		 S 55.235288°
W 18.380127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448928833007812 y=0.684829711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448928833007812 × 215)
    floor (0.448928833007812 × 32768)
    floor (14710.5)     		tx = 14710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684829711914062 × 215)
    floor (0.684829711914062 × 32768)
    floor (22440.5)     		ty = 22440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14710 / 22440 ti = "15/14710/22440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14710/22440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14710 ÷ 215
    14710 ÷ 32768     		x = 0.44891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22440 ÷ 215
    22440 ÷ 32768     		y = 0.684814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32098548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684814453125 × 2 - 1) × π
    -0.36962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16122345639624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32098548} λ = -0.32098548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16122345639624))-π/2
    2×atan(0.313102878734016)-π/2
    2×0.30343401590111-π/2
    0.606868031802219-1.57079632675     		φ = -0.96392829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32098548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.391113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96392829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.229023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14710 KachelY 22440 -0.32098548 -0.96392829 -18.391113 -55.229023
    Oben rechts KachelX + 1 14711 KachelY 22440 -0.32079373 -0.96392829 -18.380127 -55.229023
    Unten links KachelX 14710 KachelY + 1 22441 -0.32098548 -0.96403764 -18.391113 -55.235288
    Unten rechts KachelX + 1 14711 KachelY + 1 22441 -0.32079373 -0.96403764 -18.380127 -55.235288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96392829--0.96403764) × R
    0.000109350000000008 × 6371000     		dl = 696.668850000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96392829--0.96403764) × R
    0.000109350000000008 × 6371000     		dr = 696.668850000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32098548--0.32079373) × cos(-0.96392829) × R
    0.000191749999999991 × 0.570297547182735 × 6371000     		do = 696.697867817122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32098548--0.32079373) × cos(-0.96403764) × R
    0.000191749999999991 × 0.570207719506682 × 6371000     		du = 696.588130802319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96392829)-sin(-0.96403764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570297547182735-0.570207719506682)×R²
    abs(-0.32079373--0.32098548)×8.98276760534777e-05×R²
    0.000191749999999991×8.98276760534777e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.98276760534777e-05×40589641000000     		ar = 485329.477673312m²