Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14709 / 22443
↖ ↑ ↗
← S 55.247815°
W 18.402100°		 ← 696.37 m → S 55.247815°
W 18.391113°		 →
↑
696.29 m
↓
↑
696.29 m
↓
S 55.254077°
W 18.402100°		 ← 696.26 m →
484 834 m²		 S 55.254077°
W 18.391113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448898315429688 y=0.684921264648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448898315429688 × 215)
    floor (0.448898315429688 × 32768)
    floor (14709.5)     		tx = 14709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684921264648438 × 215)
    floor (0.684921264648438 × 32768)
    floor (22443.5)     		ty = 22443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14709 / 22443 ti = "15/14709/22443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14709/22443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14709 ÷ 215
    14709 ÷ 32768     		x = 0.448883056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22443 ÷ 215
    22443 ÷ 32768     		y = 0.684906005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448883056640625 × 2 - 1) × π
    -0.10223388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32117723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684906005859375 × 2 - 1) × π
    -0.36981201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16179869919168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32117723} λ = -0.32117723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16179869919168))-π/2
    2×atan(0.312922820352401)-π/2
    2×0.303270024875689-π/2
    0.606540049751379-1.57079632675     		φ = -0.96425628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32117723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.402100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96425628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.247815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14709 KachelY 22443 -0.32117723 -0.96425628 -18.402100 -55.247815
    Oben rechts KachelX + 1 14710 KachelY 22443 -0.32098548 -0.96425628 -18.391113 -55.247815
    Unten links KachelX 14709 KachelY + 1 22444 -0.32117723 -0.96436557 -18.402100 -55.254077
    Unten rechts KachelX + 1 14710 KachelY + 1 22444 -0.32098548 -0.96436557 -18.391113 -55.254077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96425628--0.96436557) × R
    0.00010929000000004 × 6371000     		dl = 696.286590000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96425628--0.96436557) × R
    0.00010929000000004 × 6371000     		dr = 696.286590000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32117723--0.32098548) × cos(-0.96425628) × R
    0.000191749999999991 × 0.570028092998519 × 6371000     		do = 696.368692009606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32117723--0.32098548) × cos(-0.96436557) × R
    0.000191749999999991 × 0.569938294176034 × 6371000     		du = 696.258990243456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96425628)-sin(-0.96436557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570028092998519-0.569938294176034)×R²
    abs(-0.32098548--0.32117723)×8.97988224842772e-05×R²
    0.000191749999999991×8.97988224842772e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.97988224842772e-05×40589641000000     		ar = 484833.990490086m²