Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14707 / 22247
↖ ↑ ↗
← S 54.001312°
W 18.424072°		 ← 718 m → S 54.001312°
W 18.413086°		 →
↑
718.01 m
↓
↑
718.01 m
↓
S 54.007769°
W 18.424072°		 ← 717.89 m →
515 493 m²		 S 54.007769°
W 18.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448837280273438 y=0.678939819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448837280273438 × 215)
    floor (0.448837280273438 × 32768)
    floor (14707.5)     		tx = 14707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678939819335938 × 215)
    floor (0.678939819335938 × 32768)
    floor (22247.5)     		ty = 22247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14707 / 22247 ti = "15/14707/22247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14707/22247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14707 ÷ 215
    14707 ÷ 32768     		x = 0.448822021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22247 ÷ 215
    22247 ÷ 32768     		y = 0.678924560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448822021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10235595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32156072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678924560546875 × 2 - 1) × π
    -0.35784912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12421616988956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32156072} λ = -0.32156072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12421616988956))-π/2
    2×atan(0.324907039495314)-π/2
    2×0.314147817189697-π/2
    0.628295634379394-1.57079632675     		φ = -0.94250069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32156072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.424072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94250069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.001312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14707 KachelY 22247 -0.32156072 -0.94250069 -18.424072 -54.001312
    Oben rechts KachelX + 1 14708 KachelY 22247 -0.32136898 -0.94250069 -18.413086 -54.001312
    Unten links KachelX 14707 KachelY + 1 22248 -0.32156072 -0.94261339 -18.424072 -54.007769
    Unten rechts KachelX + 1 14708 KachelY + 1 22248 -0.32136898 -0.94261339 -18.413086 -54.007769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94250069--0.94261339) × R
    0.000112699999999966 × 6371000     		dl = 718.011699999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94250069--0.94261339) × R
    0.000112699999999966 × 6371000     		dr = 718.011699999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32156072--0.32136898) × cos(-0.94250069) × R
    0.000191739999999996 × 0.587766730565611 × 6371000     		do = 718.001461284705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32156072--0.32136898) × cos(-0.94261339) × R
    0.000191739999999996 × 0.587675549101293 × 6371000     		du = 717.890076238193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94250069)-sin(-0.94261339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587766730565611-0.587675549101293)×R²
    abs(-0.32136898--0.32156072)×9.11814643181907e-05×R²
    0.000191739999999996×9.11814643181907e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.11814643181907e-05×40589641000000     		ar = 515493.462481712m²