Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14705 / 22382
↖ ↑ ↗
← S 54.863963°
W 18.446045°		 ← 703.08 m → S 54.863963°
W 18.435059°		 →
↑
703.04 m
↓
↑
703.04 m
↓
S 54.870285°
W 18.446045°		 ← 702.97 m →
494 253 m²		 S 54.870285°
W 18.435059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448776245117188 y=0.683059692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448776245117188 × 215)
    floor (0.448776245117188 × 32768)
    floor (14705.5)     		tx = 14705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683059692382812 × 215)
    floor (0.683059692382812 × 32768)
    floor (22382.5)     		ty = 22382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14705 / 22382 ti = "15/14705/22382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14705/22382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14705 ÷ 215
    14705 ÷ 32768     		x = 0.448760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22382 ÷ 215
    22382 ÷ 32768     		y = 0.68304443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.10247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32194422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68304443359375 × 2 - 1) × π
    -0.3660888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15010209568439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32194422} λ = -0.32194422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15010209568439))-π/2
    2×atan(0.316604443781561)-π/2
    2×0.306619766410601-π/2
    0.613239532821202-1.57079632675     		φ = -0.95755679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32194422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.446045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95755679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.863963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14705 KachelY 22382 -0.32194422 -0.95755679 -18.446045 -54.863963
    Oben rechts KachelX + 1 14706 KachelY 22382 -0.32175247 -0.95755679 -18.435059 -54.863963
    Unten links KachelX 14705 KachelY + 1 22383 -0.32194422 -0.95766714 -18.446045 -54.870285
    Unten rechts KachelX + 1 14706 KachelY + 1 22383 -0.32175247 -0.95766714 -18.435059 -54.870285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95755679--0.95766714) × R
    0.000110349999999926 × 6371000     		dl = 703.039849999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95755679--0.95766714) × R
    0.000110349999999926 × 6371000     		dr = 703.039849999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32194422--0.32175247) × cos(-0.95755679) × R
    0.000191749999999991 × 0.575519729364402 × 6371000     		do = 703.077490540897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32194422--0.32175247) × cos(-0.95766714) × R
    0.000191749999999991 × 0.575429482966291 × 6371000     		du = 702.967241998793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95755679)-sin(-0.95766714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575519729364402-0.575429482966291)×R²
    abs(-0.32175247--0.32194422)×9.02463981107271e-05×R²
    0.000191749999999991×9.02463981107271e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.02463981107271e-05×40589641000000     		ar = 494252.739429689m²